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最优化问题概述;数学模型就是对现实事物或问题的数学抽象或描述。;建立最优化问题数学模型的三要素：;解：决定圆柱体外表积大小有两个决策变量：圆柱体底面半径r、高h。

问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即;则得数学模型：

s.t.Subjectto.

;此时圆柱体的外表积为

;例2.多参数曲线拟合问题

两个物理量x和y之间的依赖关系为:

其中和待定参数,为确定这些参数,;解:很显然对参数和任意给定的一组数值,就由上式确定了y关于x的一个函数关系式,在几何上它对应一条曲线,这条曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.

将测量点沿垂线方向到曲线的距离的

平方和作为这种“偏差”的度量.即

显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：;;例3：两杆桁架的最优设计问题。由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载为2p，两支座之间的水平距离为2L，圆杆的壁厚为B，杆的比重为ρ，弹性模量为E，屈吸强度为δ。求在桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直径d。;解：桁杆的截面积为：

桁杆的总重量为：

负载2p在每个杆上的分力为：

于是杆截面的应力为：

此应力要求小于材料的屈曲极限，即

圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：压杆稳定的临界应力为

由此得稳定约束：

;另外还要考虑到设计变量d和h有界。

从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：

;

例4.〔混合饲料配合〕以最低本钱确定满足动物所需营养的最优混合饲料。下面举一个简化了的例子予以说明。

设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养;配料;;例5〔运输问题〕设有位于不同城市的m个电视机厂A1，A2，…，Am，其产量分别为a1，a2，…，am〔台〕??其产品供给n个城市B1，B2，…，Bn。每个城市的需要量分别为b1，b2，…，bn〔台〕。假定产需平衡，即;解设由Ai到Bj的运输量为xij（台）（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n），则要求总运费

达到最小，其中要满足的约束条件为：

=ai，i=1,2,…,m；=bj，j=1,2,…,n;例6(系统可靠性问题)在设计某些大型的系统工程时,常常要考虑它们的可靠性。设一个系统是由n个部件串联而成。为提高系统的可靠性,每个部件都装有备用件,一但原部件出现故障,备用件就自动进入系统。显然,备用件越多系统可靠性越大,但费用也越高，重量也越大,这在实际上是不行的。假定当部件k配置uk个备用件时,这个部件正常工作的概率为pk(uk),而每个备用件k的费用为ck,重量为ak。试在总费用不超过C,总重量不超过A的条件下决定各部件的备用件的数量,使得系统正常工作的概率最大。;例7、选址问题;

;例8：某市场营销调查指派问题

市场营销调查公司有3个新客户需要进行市场调查，目前正好有3个人没有其他工作，由于他们的对不同市场的经验和能力不同，估计他们完成不同任务所需时间如下表。公司面临的问题是如何给每个客户指派一个工程主管〔代理商〕，使他们完成市场调查的时间最短。;设xij=1表示指派主管i完成第j项市场调查，否那么xij=0

那么问题的数学模型为：;

;例9〔非线性方程组的求解〕解非线性方程组是相当困难的一类问题，由于最优化方法的开展，对解非线性方程组提供了一种有力的手段。;n维欧氏空间向量

向量变量实值函数：无约束最优问题：

;如果约束条件中有“小于等于“的，即则转化为，另外，等式约束可以由下面两个不等式来代替：

因而最优化问题的一般形式又可写成：

;

;在容许集中找一点，使目标函数