第05讲 空间向量及其应用 (高频考点—精练）（解析版）.docx

第05讲空间向量及其应用(精练）

A夯实基础

一、单选题

1．（2022·河南省实验中学高二阶段练习）设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】对于A，设，则，即，该方程组无解，故A符合题意；

对于B，设，则，即，解得，故B不符合题意；

对于C，设，则，即，解得，故C不符合题意；

对于D，设，则，即，解得，故D不符合题意；

故选：A.

2．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（????）

A． B． C． D．与斜交

【答案】A

【详解】由题意得：，则，.

故选：A

3．（2022·浙江·杭州四中高二期末）已知向量，，且与互相平行，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，，

则，解得，

故选：D

4．（2022·河北保定·高二阶段练习）如图，在正三棱柱中，，E是的中点，F是的中点，若点G在直线上，且平面AEF，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】如图：以C为原点，CB，所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则．

由题可设，则．

设平面AEF的法向量，则，

令，则，

得．

由，得，

则，，

即．

故选：A

5．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））如图，是正三角形所在平面外一点，，分别是和的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】不妨设，

如图建立空间直角坐标系，

则相关各点坐标为，，，，

又，分别是和的中点，

则，．

所以，，

所以，，

因为异面直线所成的角为锐角或直角，

所以异面直线与所成角的余弦值为，

故选：B.

6．（2022·河南·鄢陵一中高二期中（理））如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是边的中点，则与平面所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．2

【答案】A

【详解】以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以.取平面的一个法向量为，则，即与平面所成角的正弦值为.

故选：A.

7．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离，则（????）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【详解】由题意，所以，

即，

解得或．

故选：C

8．（2022·河南·高二阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为半正多面体的棱长为，故正方体的棱长为

所以，.

设，则.

所以.

令，则，

因为，所以.

故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.

故选：C

二、多选题

9．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，则下列正确的是（???????）

A． B． C． D．，

【答案】AB

【详解】向量，，

，则A正确，

，则B正确，

，则C错误，

，则D错误.

故选：AB

10．（2022·辽宁营口·高二开学考试）已知向量，，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】解：因为，，

所以，所以，故A错误；

因为，，所以，故B正确；

因为，所以，故C正确；

因为，，所以，所以，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

11．（2022·全国·高二课时练习）若向量，，其中，则的最小值为______．

【答案】2

【详解】因为,

故当时，模长最小为2.

故答案为：2

12．（2022·全国·高二专题练习）已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量.若，则__________.

【答案】##

【详解】由于，

所以.

故答案为：

四、解答题

13．（2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习）已知向量，．

(1)求的值；

(2)求向量与夹角的余弦值．

【答案】(1)；

(2).

（1）

∵，，

∴，，

∴；

（2）

设与的夹角为，则，

，，，，

∴，

∴向量与夹角的余弦值为．

14．（2022·湖北孝感·高二阶段练习）如图，已知是边长为的正三角形，，，分别是，，边的中点，将沿折起，使点到达如图所示的点的位置，为边的中点．

(1)证明：平面．

(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

（1）

证明：连接，，设与交于点，连接．

因