1.1导数的概念及其意义（5大题型提分练）-2024-2025学年高二数学同步（湘教版2019选择性必修第二册）解析版.docx

1.1导数的概念及其意义

题型一函数平均变化率概念辨析

1．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从到花了，乙车从到花了，试比较两辆车的刹车性能．

【答案】甲车的刹车性能较好

【分析】利用速度平均变化率求解刹车性能即可.

【详解】甲车速度的平均变化率为．

乙车速度的平均变化率为，

平均变化率为负值说明速度在减少，

因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，

所以甲车的刹车性能较好．

2．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由平均速度的定义可得汽车在时间段上的平均速度即为该段直线的斜率，结合图像即可得出答案.

【详解】设直线，AB，BC的斜率分别为，，，

则，，，

由题中图象知，即．

故选：B.

题型二函数平均变化率的计算

1．函数在区间上的平均变化率为.

【答案】3

【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为，分别计算出的值代入计算即可.

【详解】由题意得，函数在区间上的平均变化率为，

故答案为：3.

2．已知函数．

(1)求函数在区间上的平均变化率；

(2)求函数在区间上的平均变化率．

【答案】(1)(2)8.02

【分析】（1）利用平均变化率的定义求解．

（2）由（1）可知，令即可求解结果．

【详解】（1）

，

函数在区间上的平均变化率为．

（2）由（1）可知在区间上的平均变化率为，

当，时，

，

即函数在区间上的平均变化率为8.02．

3．已知函数在上的平均变化率是函数在上的平均变化率的3倍，求实数m的值．

【答案】3

【分析】分别求出函数在上的平均变化率以及函数在上的平均变化率，利用三倍的关系构成等量关系式，则答案可求.

【详解】函数在上的平均变化率为．

函数在上的平均变化率为．

由题意知，解得．

题型三导数概念辨析

1．一物体的运动方程是，则在时的瞬时速度是（??）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】表示，计算，利用可计算出时的瞬时速度.

【详解】∵，

∴，

∴在时的瞬时速度为.

故选：B.

2．函数在处的瞬时变化率等于．

【答案】-1

【分析】求导，代入，求出，得到瞬时变化率.

【详解】，当时，，

故在处的瞬时变化率等于-1

故答案为：-1

3．已知函数在处的导数为4，则（???）

A． B．2 C． D．4

【答案】A

【分析】由导数的定义变形求解可得.

【详解】由函数在处的导数为4，

则

.

故选：A.

题型四导数计算

1．函数的导函数（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据导数的定义即可求解.

【详解】由导函数的定义得

．

故选：D.

2．已知是定义在上的可导函数，若，则.

【答案】1

【分析】根据导数的定义写出答案即可.

【详解】由导数定义知：.

故答案为：1

3．已知函数在处的切线斜率为，且，则.

【答案】

【分析】根据导数的定义可得答案.

【详解】因为函数y=fx在处的切线斜率为，

且，则.

故答案为：.

题型五导数几何意义的应用

1．曲线在处的切线方程为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程.

【详解】因为，所以，

所以曲线在处的切线的斜率为，

当时，，所以切点为，

所以切线方程为，即.

故选：.

2．已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．

【答案】B

【分析】由题意得，可求出，再将代入函数解析式中可求出，从而可求得的值.

【详解】由题意得，

所以，

解得，

又，则，

所以．

故选：B

3．已知函数.

(1)设割线的斜率为，曲线y=fx在点处的切线斜率为，判断与的大小关系，并说明理由；

(2)若曲线y=fx在点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为2，求.

【答案】(1)，理由见解析

(2)

【分析】（1）利用直线的斜率公式可求，利用导数的定义可求，可得结论；

（2）利用导数的定义可求点处的切线斜率，进而求得切线方程，求得其在轴和轴的截距，从而可得，求解即可.

【详解】（1）易知，所以割线的斜率，

点处的切线斜率，

所以．

（2）点处的切线斜率为，

所以在点处的切线方程为，即，

其在轴和轴的截距分别为和，

所以切线与两坐标轴所围三角形的面积为，故，解得．

4．已知函数．

(1)求曲线上任意一点处的切线斜率；

(2)求曲线在点处的切线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率；

（2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程.

【详解】（1）由导