新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题40 离散型随机变量及其分布列（原卷版）.doc

专题40离散型随机变量及其分布列№

专题40离散型随机变量及其分布列

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高考数学一轮复习

专题40离散型随机变量及其分布列

命题解读

命题预测

复习建议

离散型随机变量及其分布列是近几年高考常考知识点，出题上多与实际想联系，重点在与考查分析问题和计算问题的能力，多与其它知识相结合，要求比较高，出题方向上选择、填空或解答都有可能涉及。

离散型随机变量的数字特征是高考常考知识点之一，常常出现在客观题或主观题方面，这部分内容比较零散，知识点多，出题不好琢磨，复习中主要是夯实基础，掌握做题方法。

预计2024年的高考离散型随机变量的数字特征大概率会在解答题中出题，要掌握计算公式和计算方法，注意分析问题，主要还是考查分析问题的能力。

预计2024年的高考对于离散型随机变量及其分布列的考查对分析题目的能力要求会更高，对计算能力的考查难度不减，出题以解答题为主。

集合复习策略：

1.理解离散型随机变量的概念及其分布列性质；

2.掌握常见的离散型随机变量分布列的求解。

3.理解离散型随机变量的分布列；

4.掌握离散型随机变量的数字特征的计算。

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一、离散型随机变量的分布列

1.离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.?

2.离散型随机变量的分布列及其性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则以表格的形式表示如下:

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n表示X的分布列.

(2)离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0(i=1，2，…，n);?

②∑i=1npi

二、常见离散型随机变量的分布列

1.两点分布：

若随机变量X服从两点分布，则其分布列为

X

0

1

P

1-p

p

其中p=P(X=1)称为成功概率.?

(2)超几何分布：

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率P(X=k)=CMkCN-

X

0

1

…

m

P

C

C

…

C

其中m=min{M,n}，且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.?

如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.

三、离散型随机变量的数字特征

离散型随机变量的均值与方差

一般地,若离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

1.均值

称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.?

2.方差

称D(X)=∑i=1n(xi-E(X))2pi为随机变量

四、均值与方差的计算

均值与方差的性质

1.E(aX+b)=aE(X)+b.(a,b为常数)?

2.D(aX+b)=a2D(X).(a,b为常数)?

3.若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p，D(X)=p(1-p).?

4.若X~B(n,p),则E(X)=np，D(X)=np(1-p).?

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1.（2923全国理科甲卷19）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.

（1）设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；

（2）实验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：

对照组

实验组

（ii