新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题41 二项分布与超几何分布、正态分布（原卷版）.doc

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专题41二项分布与超几何分布、正态分布

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专题41二项分布与超几何分布、正态分布

命题解读

命题预测

复习建议

二项分布与超几何分布、正态分布是高考出题的知识点之一，其中二项分布和超几何分布是离散型随机变量分布列，正态分布是连续型随机变量分布列，主要考查对分布列的认识和理解，在选择、填空中主要考正态分布，解答题中二项分布和超几何分布的比较多一些。

预计2024年的高考对于二项分布与超几何分布、正态分布的出题比较灵活，难于掌握出题方向，重点还是要掌握基础知识。

集合复习策略：

1.掌握二项分布和超几何分布；

2.了解正态分布的含义及其均值、方差。

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一、二项分布与超几何分布

1.二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率

在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，

2.超几何分布：

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率P(X=k)=CMkCN-

X

0

1

…

m

P

C

C

…

C

其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.?

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.

二、正态分布

(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈(-∞，+∞)，其中实数μ

(2)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交;?

②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称;?

③曲线在x=μ处达到峰值1σ

④曲线与x轴之间的面积为1;?

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图10-58-1①所示;?

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中;σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(如图10-58-1②所示)?

①

②

图10-58-1

(3)正态分布的定义及表示

一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)=abφμ，σ(x)dx，

正态分布的三个常用数据：

P(μ-σX≤μ+σ)≈0.6827;?

P(μ-2σX≤μ+2σ)≈0.9545;?

P(μ-3σX≤μ+3σ)≈0.9973.?

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1.（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）

参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．

2．（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：

(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）

(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．

（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：

0.8

1.2

0.95

1.01

1.23

1.12

1.33

0.97

1.21

0.83

利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．

（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望．

参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率．

参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，．

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1．（多选）（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若随机变量，下列说法中正确的是（????）

A． B．期望

C．期望 D．方差

2．（2023·辽宁大连·统考三模）已知随机变量，且，则__________.

3．（2023·江苏南通·三模）随机变量，则__________.

4．（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知某校高二男生的身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，16），且，则