第13讲 导数中三次函数有关的问题(学生版).docx

第13讲三次函数的图象性质

思维导图-

思维导图-----方法梳理

1.对称中心：三次函数一定有对称中心，对称中心的坐标为

2．三次函数有以下6种可能的图象：

3.三次函数的零点个数：

（1）若方程的判别式，则在R上是单调函数，无极值，值域为，函数在R上有唯一的零点.

（2）若方程的判别式，则有两个零点，，它们是函数的极值点.

（i）有一个零点，如下图所示；

（ii）有两个零点，如下图所示；

（iii）有一个零点，如下图所示；

围观(

围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹

例1.已知函数在时有极值0，则_______.

例2.若函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_______.

例3.若函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是_______.

例4.若函数在上有极值点，则实数a的取值范围是_______.

例5.若函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是_______.

例6.已知三次函数的图象一定有对称中心，设为，记函数的导函数为，的导函数为，则有，已知函数，

则可以根据以上信息求出的值为_______.

例7.（2020·新课标Ⅲ卷）已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有三个零点，求k的取值范围.

例8.已知函数，其中.

（1）若在R上单调递增，求a的值；

（2）若，讨论在区间上的零点个数.

套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．已知函数有两个极值点，，则下列结论中错误的是（）

套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫

A.，存在，使得B.在上存在最大值

C.是的极大值点D.若，则有唯一的零点

2．已知函数，其中，若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是_______.

3．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是_______.

4.（2016·北京）设函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；

（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.

5．已知函数.

（1）若是的极值点，求k的值和的单调区间；

（2）若函数在上有且仅有两个零点，求在上的最大值.

6．已知函数，其中，

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有3个零点，，，求t的取值范围，并证明：.

7.（2011·天津）已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求的单调区间；

（3）证明：对任意的，函数在上存在零点.

8．若实数满足，则称为的不动点.已知函数，其中a、b为常数.

（1）若，求的单调递增区间；

（2）若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点，求b的值；

（3）求证：不存在常数a和b，使得互异的两个极值点都是的不动点.

9.已知函数，其中.

（1）若，讨论函数的单调性；

（2）当且时，证明：函数有且仅有一个零点.