专题01 柯西不等式与权方和不等式（3大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（原卷版）.docx

专题01柯西不等式与权方和不等式

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TOC\o1-1\h\u题型01二维形式下的柯西不等式 1

题型02三维形式下的柯西不等式 2

题型03权方和不等式 3

题型01二维形式下的柯西不等式

【解题规律·提分快招】

1.二维形式的柯西不等式

2.二维形式的柯西不等式的变式

【典例训练】

一、单选题

1．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（????）

A． B． C． D．

2．若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对

3．（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（????）

A．0 B． C． D．

二、多选题

4．（2024高三上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（????）

A． B． C． D．

三、填空题

5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是．

题型02三维形式下的柯西不等式

【解题规律·提分快招】

柯西不等式的扩展：，当且仅当时，等号成立.

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.

【典例训练】

一、填空题

1．（2024高三下·浙江·阶段练习）若，则的最小值为．

2．（2024高三下·浙江·阶段练习）已知，，则的最小值为.

3．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）存在正数使得不等式成立，则的最大值是.

4．已知，且，实数满足，且，则的最小值是．

二、解答题

5．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.

(1)若，求的最小值；

(2)求的最大值；

(3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围.

6．（23-24高三下·黑龙江佳木斯·期中）在中，，，对应的边分别为，，，.

(1)求；

(2)若为边中点，，求的最大值；

(3)奥古斯丁·路易斯·柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），.法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，P是内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值.

题型03权方和不等式

【解题规律·提分快招】

权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.

证明1：

要证

只需证

即证

故只要证

当且仅当时，等号成立

即，当且仅当时，等号成立.

证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．

推广1：当时，等号成立．

推广:2：若，则，当时，等号成立.

推广3：若，则，当时，等号成立.

【典例训练】

一、填空题

1．已知正实数、且满足，求的最小值.

2．（2024高三·全国·专题练习）的最小值为.

3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为.

一、单选题

1．实数x、y满足，则的最小值是（????）

A． B． C．3 D．4

2．若实数，则的最小值为（????）

A．14 B． C．29 D．

3．已知，，且，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

4．设非负实数，，满足，则的（????）

A．最小值为 B．最小值为

C．最大值为 D．最大值为

5．（24-25高三上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（????）

A． B． C． D．

三、填空题

6．已知正实数、且满足，求的最小值.

7．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为

8．（2024高