专题03 三次函数的图像与性质（4大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（原卷版）.docx

专题03三次函数的图像与性质

目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）

TOC\o1-1\h\u题型01三次函数的零点 1

题型02三次函数的极值、极值点 2

题型03三次函数的切线 4

题型04三次函数的对称性 5

题型01三次函数的零点

【解题规律·提分快招】

一、三次函数概念

定义：形如fx=

fx=

当Δ0时，令f

二、三次函数的零点个数

若三次函数fx

性质

三次函数图像

说明

a

a

零点个数

三个

b

f

两个极值异与

图像与x轴有三个交点

两个

b

f

有一个极值为0

图像与x轴有两个交点

存在极值时

一个

b

f

不存在极值时，

函数单调，与x轴有一个交点

【典例训练】

一、单选题

1．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数的三个零点分别为，，，若函数满足，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

2．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数，则（????）

A． B．若，则的极大值点为

C．若至少有两个零点，则 D．在区间上单调递增

3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（????）

A．

B．若成等差数列，则

C．

D．

三、填空题

4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知若函数有两个零点，则的取值范围为

5．（0分）（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若方程有且仅有两不等实根，则实数的取值范围是.

题型02三次函数的极值、极值点

【解题规律·提分快招】

一、三次函数的图像及单调性

注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！

系数关系式

fx

f

fx

a

f

fx在R

fx

a

f

fx在R

fx

a

增区间?∞，

减区间x

fx

极大值fx1

a

增区间x

减区间?∞，

fx

极大值fx2

【典例训练】

一、单选题

1．（2024·四川泸州·一模）已知函数在处取得极大值，则的值是（???）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（???）

A． B． C． D．

3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，是的导函数，则下列说法错误的是（???）

A．“”是“为奇函数”的充要条件

B．“”是“为增函数”的充要条件

C．若不等式的解集为且，则的极小值为

D．若、是方程的两个不同的根，且，则或

二、多选题

4．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数，2为的极大值点，则下列结论正确的有（????）

A．

B．若4为函数的极小值点，则

C．若在内有最小值，则的取值范围是

D．若有三个互不相等的实数解，则的取值范围是

5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知三次函数，则（???）

A．函数一定有两个极值点 B．当时，

C．当时，的极小值为0 D．在区间上的值域为

三、填空题

6．（0分）（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数两个极值点分别为椭圆与双曲线的离心率，则实数的取值范围是.

题型03三次函数的切线

【典例训练】

一、单选题

1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（????）

A． B．

C．或 D．

二、多选题

2．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知函数，则（????）

A．时，是的极大值点

B．若存在三个零点，则

C．当时，过点可以作的切线，有且只有一条

D．存在，使得

3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（???）

A．时，若有3个零点，则实数的取值范围是

B．时，过可作函数的切线有两条

C．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则

D．若存在极值点，且，其中，则

4．（24-25高三上·浙江·开学考试）三次函数叙述正确的是（????）

A．函数可能只有一个极值点

B．当时，函数的图象关于点中心对称

C．当时，过点的切线可能有一条或者两条

D．当时，在点处的切线与函数的图象有且仅有两个交点

三、填空题

5．（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是．

题型04三次函数的对称性

【解题规律·提分快招】

一、三次函数的韦达定理

设fx=a

(1)x

(2)x

(3)x

(4)1

二、三次函数的对称性

结论1三次函数fx=ax3

结论2已知三次函数fx=ax3+

结论3若y=fx图像关于点m，n

点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数

【典例训练】

一、多选题

1．（202