2.1 等式性质与不等式性质（七大题型）【含答案解析】.docxVIP

2．1等式性质与不等式性质

【题型归纳目录】

题型一：用不等式（组）表示不等关系

题型二：作差法比较两数（式）的大小

题型三：作商法比较两数（式）的大小

题型四：利用不等式的性质判断命题真假

题型五：利用不等式的性质证明不等式

题型六：利用不等式的性质比较大小

题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

【知识点梳理】

知识点一、符号法则与比较大小

实数的符号：

任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．

两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：

①两个同号实数相加，和的符号不变

符号语言：；

②两个同号实数相乘，积是正数

符号语言：；

③两个异号实数相乘，积是负数

符号语言：

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0

符号语言：，．

比较两个实数大小的法则：

对任意两个实数、

①；

②；

③．

对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．

知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．

知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分

基本性质有：

（1）对称性：

（2）传递性：

（3）可加性：（c∈R）

（4）可乘性：ab，

运算性质有：

（1）可加法则：

（2）可乘法则：

（3）可乘方性：

知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．

知识点三、比较两代数式大小的方法

作差法：

任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．

①；

②；

③．

作商法：

任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．

①；

②；

③．

中间量法：

若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．

【典型例题】

题型一：用不等式（组）表示不等关系

例1．（2023·全国·高一专题练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，同一车道上的车间距不得小于，用不等式表示为（????）

A．且 B．或C． D．

【答案】A

【解析】直接根据速度与车距的限制列不等式即可.因为高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，

所以；

因为同一车道上的车间距不得小于，

所以，

因为两个规则都必须遵守，

所以，且，

故选：A.

例2．（2023·湖北黄冈·高一校考期中）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（????）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据长、宽、高的和不超过可直接得到关系式.长、宽、高之和不超过，.

故选：.

例3．（2023·高一单元测试）如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列不等式即可．把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，

设道路的宽应为x米，草坪面积为（22﹣x）（17﹣x），因为草坪的面积不小于300m2，

所以(22－x)(17－x)300，

故选：B．

变式1．（2023·全国·高一专题练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大?小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大?小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（????）

A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱

【答案】C

【解析】依题意可设买大竹子，每根单价为，

购买小竹子，每根单价为，

所以，

即，即，

因为，

所以，

根据选项，，

所以买大竹子根，每根元.

故选：C

变式2．（2023·安徽滁州·高一校考阶段练习）某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为（????）

A． B．

C． D．0.8×5x＋2×4y≤50

【答案】A

【解析】买票面8角的x套，而票面8角的每套5张，知：每套价格为元

买票面2元的y套，而票面2元的每套4张，知：每套价格为元

∵某同学拿50元钱买纪念邮票

∴+≤50

又知，每种邮票至少买两套：故且综上，有不等式组

故选：A

【方法技巧与总结】

将不等关系表示成不等式（组）的思路

（1）读懂题意，找准不等式所联系的量．

（2）用适