垂直于弦的直径的逆定理课件.pptVIP

课后练习9已知圆O的直径AB垂直于弦CD，E为CD的中点。求证：AE=BE。提示：连接OE，利用垂直于弦的直径平分弦的性质和勾股定理。课后练习10在圆形操场上，有一条直线路径穿过圆心，这条路径被称为直径。一个运动员沿着一条直线路径跑步，这条路径与直径相交，且交点不在圆心。请问，运动员所走的路径和直径的关系是什么？本题要求学生利用垂直于弦的直径的逆定理，分析运动员所走的路径和直径之间的关系。学生需要理解逆定理的含义，并将其应用于实际问题中。***********************垂直于弦的直径的逆定理垂直于弦的直径的逆定理是圆形几何中一个重要的定理，它阐述了如果一条直径垂直于弦，那么这条直径平分这条弦并平分弦所对的两条弧。定义直径圆心经过圆上两点的线段称为圆的直径.弦连接圆上两点的线段叫做圆的弦.垂直于弦的直径垂直于弦的直径是指垂直于弦的直线，并且该直线经过圆心，且这条直线是圆的直径.传统证明连接圆心和弦端点连接圆心O和弦AB的两个端点A、B，形成半径OA和OB。证明三角形全等证明三角形OAC和三角形OBC全等，得出角AOC等于角BOC。得出结论由于角AOC等于角BOC，所以直径OC垂直平分弦AB。问题提出我们已经学习了垂直于弦的直径的性质。如果我们知道一个直径垂直于一条弦，那么我们可以得出该弦被直径平分。现在我们想知道，如果一个直径平分一条弦，那么这个直径是否一定垂直于这条弦？换句话说，我们想探究垂直于弦的直径的逆定理是否成立。逆定理1定义与原定理的条件和结论相反，但仍然成立的命题被称为逆定理。2应用逆定理可用于证明其他命题，也可用于解决实际问题。3例子例如，原定理“直角三角形中，两条直角边平方和等于斜边平方”的逆定理是“三角形中，两条边平方和等于第三边平方，则该三角形是直角三角形”。4重要性逆定理在数学和逻辑推理中起着重要作用，它拓宽了定理的适用范围。逆定理的证明思路1假设假设线段AB是圆的直径2证明证明线段AB垂直于弦CD3结论得出结论：垂直于弦的直径平分弦首先，我们需要假设线段AB是圆的直径，然后证明线段AB垂直于弦CD。最后，得出结论：垂直于弦的直径平分弦。引入需要证明的性质圆周角定理圆周角定理是证明逆定理的关键。该定理指出，圆周角等于圆心角的一半。等腰三角形性质在证明逆定理中，会用到等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等。垂直关系垂直于弦的直径会将弦分成相等的两部分，这也将成为证明逆定理的依据。引入补充引理引理的作用引理是证明定理的中间步骤，它帮助我们简化证明过程，更清晰地呈现逻辑关系。引理的证明引理本身需要证明，但证明过程通常比定理更简单，更容易理解。引理的意义引理是构建定理的基石，它为定理的证明提供了必要的支撑，使证明过程更严谨。引理的证明1已知条件直线过圆心2垂直直线垂直弦3等距弦的两端到圆心的距离相等4结论直线平分弦首先，根据已知条件，直线过圆心且垂直于弦。其次，由圆的定义可知，弦的两端到圆心的距离相等，即弦的两端点到圆心距离相等。最后，根据对称性，直线垂直平分弦，因此该直线平分弦。逆定理主要定理的证明1连接圆心连接圆心O与弦AB的中点M，并连接OA和OB。2等腰三角形OA和OB是圆的半径，所以三角形OAB是等腰三角形。3垂直关系根据题意，直径CD垂直于弦AB，因此OM垂直于AB。4性质应用根据垂直于弦的直径的性质，OM平分弦AB，即AM=MB。5全等三角形三角形OAM和三角形OBM满足SAS条件，因此两个三角形全等。6结论因为三角形OAM和三角形OBM全等，所以∠OAM=∠OBM，即OA和OB与弦AB的夹角相等。逆定理的扩展圆周角定理的逆定理如果圆周角等于圆心角的一半，那么这个角所对的弧是圆心角所对的弧。该定理是圆周角定理的逆定理，可以用来证明圆周角等于圆心角的一半。弦切角定理的逆定理如果一个角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半，并且它的一个边是圆的切线，那么它的另一个边是圆的弦。定理的应用几何题在几何题中，垂直于弦的直径定理可以帮助解决有关圆周角、圆心角和弦长的问题。工程应用在桥梁建设中，垂直于弦的直径定理可以帮助确定桥拱的形状和尺寸。机械设计在机械设计中，垂直于弦的直径定理可以帮助设计切割工具的形状和路径。实例1已知圆O中弦AB垂直于直径CD，且AB=8，CD=10，求圆O的半径。根据垂直于弦的直径的逆定理，可知直径CD平分弦A