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线代期末试题及答案

一、选择题（每题3分，共30分）

1.在三维向量空间中，以下向量中线性无关的是：

A)(1,0,0)

B)(0,1,0)

C)(0,0,1)

D)(1,1,1)

答案：D

2.设矩阵A=[ab;cd]，若行列式det(A)=0，则以下哪个等式成立？

A)ad-bc=0

B)ab-bc=0

C)ac-bd=0

D)ad-bd=0

答案：A

3.给定矩阵A=[123;456;789]，则A的逆矩阵为：

A)[-1/6-1/31/6;-1/62/3-1/6;1/6-1/31/6]

B)[-1-2-3;-4-5-6;-7-8-9]

C)[1/61/3-1/6;1/6-2/31/6;-1/61/3-1/6]

D)[123;456;789]

答案：A

4.给定矩阵A=[20;03]，B=[12;34]，则A与B的乘积为：

A)[24;68]

B)[20;03]

C)[12;912]

D)[46;612]

答案：B

5.给定向量a=(1,2,3)和b=(4,5,6)，则a与b的内积为：

A)32

B)22

C)14

D)6

答案：C

6.若向量a=(1,2,3)，b=(4,-2,5)，c=(3,1,-2)，则以下哪个等式

成立？

A)a×b=c

B)b×c=a

C)c×a=b

D)a×c=b

答案：B

7.给定矩阵A=[12;34]，则A的特征值为：

A)1,2

B)2,3

C)3,4

D)4,5

答案：A

8.设向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，c=(2,1,3)，则向量集合{a,b,c}

的维数为：

A)1

B)2

C)3

D)4

答案：C

9.给定矩阵A=[12;34]，A的转置矩阵为：

A)[13;24]

B)[43;21]

C)[12;34]

D)[34;12]

答案：A

10.设矩阵A=[21;34]，则A的伴随矩阵为：

A)[4-1;-32]

B)[2-1;34]

C)[-41;3-2]

D)[-21;-3-4]

答案：A

二、计算题（共70分）

1.设矩阵A=[12;34]，求A的逆矩阵。

解答：

首先计算A的行列式：

det(A)=1*4-2*3=-2

因为det(A)≠0，所以A可逆。

接下来计算A的伴随矩阵：

A的伴随矩阵=[4-2;-31]

最后计算A的逆矩阵：

A的逆矩阵=(1/det(A))*A的伴随矩阵

=(-1/2)*[4-2;-31]

=[-21;3/2-1/2]

所以矩阵A的逆矩阵为[-21;3/2-1/2]。

2.解线性方程组：

2x+y=5

3x-2y=2

解答：

将方程组转化成矩阵形式：

[A|B]=[21|5;3-2|2]

通过行初等变换，将矩阵A转化为单位矩阵I：

[R|I]=[10|?;01|?]

解得变换后的矩阵为：

[R|I]=[10|4;01|-7]

所以方程组的解为x=4，y=-7。

3.求向量u=(1,-2,4)在向量v=(3,1,-1)上的投影。

解答：

向量u在向量v上的投影计算公式为：projv(u)=(u·v)/(v·v)*v

首先计算u·v：

u·v=1*3+(-2)*1+4*(-1)=3-2-