工科数学分析 上册（第2版）课件：函数的单调性与极值.pptx

函数的单调性

与极值《工科数学分析》

函数的单调性函数的极值及其求法函数的最大值和最小值

一、单调性的判别法定理这是单调的充分条件。

证应用Lagrange定理,

例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．

这是单调的必要条件。定理

证

二、单调区间求法问题:如例1，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:

例2解单调区间为

例3解单调区间为

注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,

例4证

三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.---可参见书中P134,例2，3，4

函数的单调性函数的极值及其求法函数的最大值和最小值

一、函数极值的定义

定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.

二、函数极值的求法定理1(必要条件)（费马定理）定义注意:

例如,

定理2(第一充分条件)(是极值点情形)

求极值的步骤:(不是极值点情形)通常会列表讨论

例5解列表讨论极大值极小值

图形如下

定理3(第二充分条件)证同理可证(2).

例6解图形如下

注意:

例7解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.

三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)

函数的单调性函数的极值及其求法函数的最大值和最小值

一、最值的求法

步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值(最大值或最小值).

二、应用举例例8解计算

比较得

实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;

点击图片任意处播放\暂停例9

解如图,

解得

例10某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为

（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为

三、小结注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.

作业P139-141

1;2(1)(2)(5)(9)6;9;11