中值定理与导数的应用.pptVIP

上页下页返回结束上页下页返回结束上页下页返回结束第三章微分中值定理与导数的应用二、罗尔中值定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理第一节微分中值定理第三章一、极值概念及费马引理本节的几个定理都来源于下面的在一条平面连续曲线段AB上,⌒则至少有一点处的切线,几何事实:平行于两个端点的连线,即平行于两端点所在的弦有水平的切线除端点外,处处有不垂直于轴的切线.一、极值概念及费马引理极值定义?如果对有函数的极大值与极小值统称为极值.函数的极大值点与极小值点统称为极值点.为极大值点为极小值点注:函数的极大值和极小值是局部性概念。极值点一定在区间内部取得,不能在区间端点取得.极值点不唯一,极大值不一定比极小值大.最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值.费马引理若则(山峰、山谷若有切线必有水平切线)证:对都有即,由导数定义由极限的保号性费马引理指出可导函数的极值点必定是该函数的驻点通常称导数为零的点为函数的驻点或稳定点二、罗尔中值定理罗尔定理(1)(2)(3)使得几何意义:若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必有一条切线平行于轴，也即平行于两个端点的连线。在两个高度相同的点之间的连续曲线上罗尔定理(1)(2)(3)使得费马引理:若则证:所以最值不可能同时在区间端点取得.使由费马引理,罗尔定理(1)定理条件不全具备,结论不一定成立.(1)(2)(3)使得(1),(2)满足(3)不满足结论不成立.(1),(3)满足(2)不满足结论不成立.(1),(2)满足(3)不满足结论成立.注：例1.所以满足罗尔定理条件.有实根注:罗尔定理强调了的存在性,只要知道存在即可.01解:02至于等于什么并不重要,(1)03结论正确验证定理的假设条件满足例2.1证:2存在性由零点定理3唯一性即方程有小于1的正实根.4矛盾,故假设不真！例2.证:唯一性三、拉格朗日(Lagrange)中值定理注拉格朗日中值定理使得(1)(2)几何意义:若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必有一条切线平行于两个端点的连线.在两个高度不相同的点之间的连续曲线上拉格朗日中值公式分析:01从所证等式入手找到一个满足罗尔定理的函数020304使得05欲证06只要证07只要证08只要证09(利用导数的性质)10拉格朗日中值定理证:01且02易知03由此得04由罗尔中值定理，05作辅助函数拉格朗日中值定理辅助函数的几何解释:(2)(1)使得说明:C为任意常数1.辅助函数的几何解释2.这样的辅助函数可有无穷多个欲证只要证只要证只要证C为任意常数3.书上辅助函数的做法4.Lagrange公式的其它形式:恒等变形拉格朗日中值定理又称有限增量定理.它精确的表达了函数增量和某点的由(3)式看出,导数之间的直接关系.有限增量公式拉格朗日中值定理的物理解释设想为把数中值定理是说，函数在区间内部某一点处的瞬时变化率一定等于整个区间上的平均变化率.例如:一位货车司机在收费亭处收到一张罚单,说他在罚单列出的违章理由是该司机超速行驶.限速为80公里/小时收费道路上在2小时内走了180公里.为什么？01推论02证：03有04由假定,05即在区间I内任意两点的函数值都相等,060708使得拉格朗日中值定理例3.01证02由推论03自证04说明:05欲证06只需证在07上08且09使10例4证：记∴满足拉氏定理的条件,通常就想到微分中值定理.如果在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,上页下页返回结束上页下页返回结束上页下页返回结束*