【八年级上册数学】最值模型之将军饮马专题.docx

第

八上数学：最值模型之将军饮马专题

【解题技巧】

将

军

饮

马

模

型

图形

原理

两点之间线段最短

两点之间线段最短

三角形三边关系

特征

A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值

A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值

A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值

转化

作其中一个定点关于定直线l的对称点

先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点

作其中一个定点关于定直线l的对称点

【题型1求两条线段和最小值】

例1．（2022·湖北江夏初二月考）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，点E的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为_____．

变式1．（2022·甘肃西峰）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_____________．

变式2．（2022·广东新丰）如图所示，在△ABC中，AB=AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，，则△

变式3．（2021·湖北洪山）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．

变式4．（2022·江阴市敔山湾实验学校八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．

请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为；

（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．

例2．（2022·重庆初二月考）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2

变式5．（2022·山东青岛九年级一模）如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）

A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）

变式6．（2022·广东·深圳市福田区莲花中学）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为_________________．

【题型2求两条线段差最大值】

例3．（2022·江苏·无锡市江南中学）如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，已知CD=4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，PA?PB的最大值为b，则a2

A．160 B．150 C．140 D．130

变式7．（2022·福建福州）如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB=6，则BP?PE的最大值是________．

【题型3求三条（周长）最小值（双动点问题）】

【模型图示】

要求：点P位定点，在直线l1，l2上分别找点M，N，使△PMN周长（即PM+PN+MN

操作：分别作点P关于直线l1，l2的对称点P’和P”，连结P’P”与直线l1，l2的交点为M，

求P’P”长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°）A，连结AP’，AP，AP”，由对称性可求∠P’AP”=2∠A也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），AP’=AP=AP”，可得特殊等腰△AP’P”，利用三边关系求出P’P”

要求：点P，Q为定点，直线l1，l2上分别找M，N，使PQMN周长（即PQ+PM+PN+MN）最

操作：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P’和Q’，连结P’Q’与直线l1，l2的交点为M，

例4．（2022·上虞市初二月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（）

A．15 B．30 C．45 D．60

变式8．（2022·安徽安庆）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取