工科数学分析 上册（第2版）课件：无穷小的比较.pptx

*无穷小的比较

无穷小的比较；

等价无穷小替换；

小结

一、无穷小的比较

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例如,当x0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小.

观x

察limx2/3x0,x2比3x要快得多;

各x0

极limsinx/x1,与大致相同

sinxx;

限x01

x2sin

x1

0limlimsin不存在.不可比.

（型）x02x0

0xx

极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且0.



(1)如果lim0，就说是比高阶



的无穷小,记作o()；



(２)如果lim，就说是比低阶



的无穷小．



(3)如果limC0,就说与是同阶



的无穷小特殊地，如果lim1,

;

则称与是等价的无穷小;记作~;



(4)如果limC0,k0,

k

就说是的k阶无穷小.



(5)如果limC0,k0,

xxk

0(xx0)

就说当时是阶无穷小

xx0,k,

或者说是的阶无穷小

xx0k.

对幂指阶全

例如，

x2

lim0，即x2o(3x)(x0).

x03x

当x0时，x2是比3x高阶的无穷小;

sinx

lim1，即sinx~x(x0).

x0x

当x0时，sinx与x是等价无穷小．

例1证明:当x0时,tanxsinx为

x的三阶无穷小.

tanxsinx

解lim

x0x3

1sinx1cosx

lim()

x0cosxxx2

1sinx1cosx1

limlimlim,

x0cosxx0xx0x22

tanxsinx为x的三阶无穷小.

定理1与是等价无穷小的充分必要条件

为o().称是的主要部分．



证设~，limlim10，



o()，即o()．

设o()．

o()o()

limlimlim(１＋)1，



~．

意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．

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例如,当x0时,sinx