国开电大 常微分方程 形考任务作业2答案.pdfVIP

天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《周易》

常微分方程课程作业2

2

第章基本定理

1.试画岀下列各方程的积分曲线图:

dy__1

(1)y=(2)

|y|

答：（1）当y0时，其积分曲线图如图(I)-

1；

当yVO时，其积分曲线图如图(1)-2；

（2）积分曲线图如图图

（2）

图

（2）

天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《周易》

2.判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且惟一？

(1)y=X2+yi(2)y=*+siny

解因为及广在整个肋平面上连续，且满

：(1)/(x,y)=*2+y2(x,y)=2yy

V

足存在唯一性定理条件，所以在整个。)，平面上，初值解存在且唯一。

X

(2)因为/(x,y)=K+siny及尸(x,y)=cosy在整个平面上连续，且满y

足存在唯一性定理条件，所以在整个xgy平面上，初值解存在且唯一。

3.讨论方程空=2*在怎样的区域中满足定理2.2的条件.并求通过(0,0)

的一dx2

切解.

解：因为方程f(x,y)=-yl3在整个功平面上连续，f(xy)=—除•轴

ytA

外,

2，2員

在整个平面上有界，所以除轴外在整个平面上都满足定理的条件.

wyx”0,2.1

而后分离变量并积分可求出方程的通解为y=±(x-c)：,xc,其中c0.另外容

易验证y=0是方程的特解.因此通过(0,0)的解有无穷多个，分别是:

0,xc

(x-c)2,xc一(X-C)2,XC

4.试用逐次逼近法方程求聖=x-y2满足初值条件)，(0)

=0