【八年级上册数学】【分式方程】重难点题型.docx

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八上数学【分式方程】重难点题型

【知识点1分式方程】

（1）分式方程：分母中含有未知数的方程

（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。

（3）分式方程解方程的步骤：

=1\*GB3①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程

=2\*GB3②解整式方程

=3\*GB3③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程

=4\*GB3④作答

【题型1解分式方程（基本法）】

【例1】（碑林区校级月考）解方程：

（1）32

（2）xx?1

【变式1-1】（潍坊）若x＜2，且1x?2+|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝

【变式1-2】（宜都市一模）解方程：3x

【变式1-3】（北碚区校级开学）解分式方程：

（1）3x?5

（2）12x

【题型2解分式方程（新定义问题）】

【例2】（宝安区期末）定义新运算：a#b=1b2?ab，例如2#3=132

【变式2-1】（怀化）定义a?b＝2a+1b，则方程3?x＝4

A．x=15 B．x=25 C．x=

【变式2-2】（甘孜州期末）定义运算“※”：a※b=2a?b，a＞bbb?a，a＜b，如果5※x＝2，那么

【变式2-3】（信都区校级月考）运符号“abcd”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：abcd=ad

【知识点2分式的运算技巧-裂项法】

解题技巧：裂项相消法：

【题型3裂项法解分式方程】

【例3】观察下面的变形规律：11×2=11?

解答下面的问题：

（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想1n(n+1)=1

（2）说明你猜想的正确性．

（3）计算：11×2+12×3

（4）解关于n的分式方程11×2

【变式3-1】（京口区校级月考）观察下列算式：

16=12×3=

（1）由此可推断：142=1

（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律1m(m+1)=

（3）仿照以上方法解方程：1(x?1)(x?2)

【变式3-2】（五华区期末）观察下列式：11×2=1?12，

将以上三个等式两边分别相加的：11×2+1

（1）猜想并填空：1n(n+1)=1n?1n+1；11×2+1

（2）化简：1n(n+1)

（3）探索并作答：

①计算：12×4

②解分式方程：1x?2

【变式3-3】（天心区校级月考）观察下列等式：11×2=1?12，

将以上三个等式两边分别相加得：11×2

（1）猜想并写出：1n(n+1)=1

（2）直接写出下列各式的计算结果：

①11×2+12×3

②11×2+12×3

（3）若11×3+13×5+

【知识点3换元法解分式方程】

换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系

例解方程：

另（x－y）=u，则原方程转换为：

方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。

注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。

【题型4换元法解分式方程】

【例4】（平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．

解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．

解得y1＝3，y2＝﹣1．

当y＝3时，x2+1＝3，

∴x＝±2．

当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．

∴原方程的解为：x1=2，x2=?

我们将上述解方程的方法叫做换元法，

请用换元法解方程：（x?1x）2﹣2（x?1

、

【变式4-1】（松江区期末）用换元法解方程2xx2?1?x2?1x+7＝0时，可设

【变式4-2】（青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题

解方程：x?1x

解：设y=x?1x，则原方程化为：y?4y=0，方程两边同时乘

解得：y＝±2，

经检验：y＝±2都是方程y?4y=0的解，∴当y＝2时，x?1

当y＝﹣2时，x?1x=?2，解得：x=13，经检验：x

∴原分式方程的解为x＝﹣1或x=1

问题：

（1）若在方程x?14x?xx?1=0中，设y=

（2）若在方程x?1x+1?4x+4x?1=0中，设

（3）模仿上述换元法解方程：x?1x+2

【变式4-3】（玄武区校级期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．

例如解方程组1x+1y=122x+1

解之得m=8n=4，即1x=8，

运用以上知识解决下列问题：

（1）求值：(1+1