平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定与性质证明题专训40题（人教版）（解析版）.pdf

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八年级下学期【（特殊的）平行四边形的判定与性质题专训】

一．解答题（共40小题）

1．（2024•和平区模拟）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即

Rt△DHA≌Rt△CGD≌Rt△BFC≌Rt△AEB，其中四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形，如

图2，将图1中的线段EA和线段GC分别延长到点M和点N，使AM＝AE，CN＝CG，连接MB，BN，

ND，DM，得到四边形MBND．

（1）求证：四边形MBND是平行四边形；

（2）若AH＝4，DH＝5，求四边形MBND的面积．

【分析】（1）由全等三角形的性质得∠AHD＝∠CGD＝∠BFC＝∠AEB＝90°，DH＝CG＝BF＝AE，

AH＝DG＝CF＝BE，因为AM＝AE，CN＝CG，所以AM＝CN，可推导出MH＝NF，ME＝NG，进而证

明△MDH≌△NBF及△MBE≌△NDG，则DM＝BN，BM＝DN，所以四边形MBND是平行四边形；

（2）由AH＝BE＝4，DH＝AE＝5，得AM＝AE＝5，EH＝AE﹣AH＝1，则MH＝AH+AM＝9，ME＝AE+AM

＝10，求得S△MDH＝S△NBF＝，S△MBE＝S△NDG＝20，S四边形EFGH＝1，则S四边形MBND＝S△MDH+S△NBF+S

△MDH+S△NBF+S四边形EFGH＝86．

【解答】（1）证明：∵Rt△DHA≌Rt△CGD≌Rt△BFC≌Rt△AEB，

∴∠AHD＝∠CGD＝∠BFC＝∠AEB＝90°，DH＝CG＝BF＝AE，AH＝DG＝CF＝BE，

∵AM＝AE，CN＝CG，

∴AM＝CN，

∴AH+AM＝CF+CN，AE+AM＝CG+CN，

∴MH＝NF，ME＝NG，

在△MDH和△NBF中，

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，

∴△MDH≌△NBF（SAS），

∴DM＝BN；

在△MBE和△NDG中，

，

∴△MBE≌△NDG（SAS），

∴BM＝DN，

∴四边形MBND是平行四边形．

（2）解：∵AH＝4，DH＝5，

∴AH＝BE＝4，DH＝AE＝5，

∴AM＝AE＝5，EH＝AE﹣AH＝5﹣4＝1，

∴MH＝AH+AM＝4+5＝9，ME＝AE+AM＝5+5＝10，

∴S△MDH＝S△NBF＝DH•MH＝×5×9＝，S△MBE＝S△NDG＝BE•ME＝×4×10＝20，

∵四边形EFGH是正方形，

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∴S四边形EFGH＝EH＝1＝1，

∴S四边形MBND＝S△MDH+S△NBF+S△MDH+S△NBF+S四边形EFGH＝++20+20+1＝86，

∴四边形MBND的面积是86．

2．（2023秋•贵阳期末）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BF∥CE，CF∥BE，BC，

EF交于点O．

（1）判断四边形BFCE的形状，并说明理由；

（2）若过点E作EG∥BC交DC于点G，画出线段EG，判断线段EG与EF的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）由BF∥CE，CF∥BE，证明四边形BFCE是平行四边形，由AB∥CD，得∠ABC+∠BCD

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＝180°，而∠EBC＝∠ABC，∠BCE＝∠BCD，求得∠EBC+∠BCE＝（∠ABC+∠BCD）＝90°，

所以∠BEC＝90°，则四边形BFCE是矩形；

（2）由EG∥BC，得∠GEC＝∠BCE，由矩形的性质得EO＝EF，CO＝BC，且EF＝BC，所以EO

＝CO，则∠OEC＝∠BCE＝∠GEC，可证明△OCE≌△GCE，则EG＝EO＝EF．

【解答】解：（1）四边形BFCE是矩形，

理由：∵BF∥CE，CF∥BE，

∴四边形BFCE是平行四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ABC+