【八年级上册数学沪科版】练习题-15.4 角的平分线.docxVIP

15.4角的平分线

专题一角平分线知识的应用

1.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长．

2.已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE.求证：AC－AB＝2BE.

专题二作图与实际问题

3.如图，点B、C在∠SAT的两边上，且AB=AC.

（1）请按下列语句用尺规画出图形（不写画法，保留作图痕迹）

=1\*GB3①AN⊥BC，垂足为N；

=2\*GB3②∠SBC的平分线交AN延长线于M；

=3\*GB3③连接CM.

（2）该图中有__________对全等三角形.

A

A

B

S

C

T

4.夏令营组织学员到某一景区游玩，老师交给同学一张画有直角坐标系和标有A、B、C、D四个景点位置的地图，指出：今天我们游玩的景点E是新开发的，地图上还没来得及标注，但已知这个景点E满足：=1\*GB3①与景点A、C和景点B、D所在的两条直线等距离；=2\*GB3②到B、C两景点等距离.请你在平面直角坐标系中，画出景点E的位置，并标明坐标（用整数表示）.

专题三角平分线中的探究题

5.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.

（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示.

图2

图2

图1

6.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过I作DE∥BC交BA于D，交AC于E．

（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明．

（2）若AB=7，AC=5，你能求△ADE的周长吗？

（3）作∠ABC与∠ACB的外角平分线，他们相交于点O，过O点作BC的平行线分别交AB、AC的延长线于F、G，你还能发现什么结论？

参考答案

1.解:∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AB，∴DE=DF．

∵S△ABC=36cm2，S△ABD=BC·DF．

又∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，AB=18cm，BC=12cm，∴×18DE+×12DF=36，

∴9DE+6DF=36．

又∵DE=DF，∴9DE+6DE=36，∴DE=cm．

2.证明：延长BE交AC于点M，

∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°.

在△ABE中，∵∠1＋∠3＋∠AEB＝180°，∴∠3＝90°－∠1.

同理，∠4＝90°－∠2.

∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM.

∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC－AB＝AC－AM＝CM.

∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5＋∠C.

∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5，

∴3∠C＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C.

∴∠5＝∠C，∴CM＝BM.∴AC－AB＝BM＝2BE.

（1）如图;（2）3.

N

N

A

B

S

C

T

M

4.如图,坐标为(2,2).

5.（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC,∴∠B＝∠C，从而AB＝AC.

（2）过点O分别作OF⊥AB，OE⊥AC，F、E分别是垂足，由题意知，OE＝OF.

在Rt△OFB和Rt△OEC中，∵OF＝OE，OB＝OC，∴Rt△OFB≌Rt△OEC.

∴∠OBF＝∠OCE，又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，

∴∠ABC＝∠ACD，∴AB＝AC.

（3）不一定成立。

（注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图）.

成立

成立

不成立

6.（1）①BD=DI，CE=EI；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC．

证明：因BI平分∠DBC，∴∠DBI=∠CBI，

又∵DE∥BC，∴∠CBI=∠DIB，∴∠DIB=∠DBI，故BD=DI，

同理CE=EI，即①得证．由①不难推出②、③．

由（1）知△ADE周长=AB+AC=7+5=12．

（3）OF=FB；OG=GC；BF+CG=FG．

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