专题19几何变式探究和类比变换综合类问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案（解析版）【江苏专用】.pdfVIP

备战2021年中考数学经典题型讲练案（江苏专用）

专题19几何变式探究和类比变换综合类问题

【方法指导】

图形的类比变换是近年来中考的常考点，常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形

全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行

类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等．

解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、

方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形

结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.

【题型剖析】

【类型1】几何类比变换综合题

【例1】（2020秋•句容市期中）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是射线BC上

一动点，DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．

【问题解决】如图1，点D与点B重合，求证：AE＝FC；

【类比探究】（1）如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；

（2）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？直接写

出你的结论．

【分析】【问题解决】由“SAS”可证△ABE≌△CBF，可得AE＝CF；

【类比探究】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，由“SAS”

可证△DEH≌△FEC，得出DH＝CF，即可得出结论；

（2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△

GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，由“SAS”可证△EGD≌△FCD，得出EG＝FC，即可得出FC＝

CD+CE．

【解析】证明：【问题解决】

∵△ABC和△DEF是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠EDC＝60°，DE＝DF，

∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EDC﹣∠EBC，

即∠ABE＝∠CBF，

在△ABE和△CBF中，

=

∠=∠，

=

∴△ABE≌△CBF（SAS）

∴AE＝CF；

【类比探究】（1）如图2，在CD上截取CH＝CE，连接EH，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ECH＝60°，

∴△CEH是等边三角形，

∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，

∵△DEF是等边三角形，

∴DE＝FE，∠DEF＝60°，

∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，

∴∠DEH＝∠FEC，

在△DEH和△FEC中，

=

∠=∠，

=

∴△DEH≌△FEC（SAS），

∴DH＝CF，

∴CD＝CH+DH＝CE+CF，

∴CE+CF＝CD；

（2）线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；

理由如下：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝60°，

过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图3所示：

∵GD∥AB，

∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，

∴∠GDC＝∠DGC＝60°，

∴△GCD为等边三角形，

∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，

∵△EDF为等边三角形，

∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，

∴∠EDG＝∠FDC，

在△EGD和△FCD中，

=

∠=∠，

=

∴△EGD≌△FCD（SAS），

∴EG＝FC，

∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．

【变式1.1】（2020秋•常熟市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8，点D是边BC

上的一个动点，连接AD，AD为直角边向右作等腰Rt△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝90°，点F是

DE的中点，连接CE．

（