工科数学分析 上册（第2版）课件：函数的连续性 II_III.pptx

函数的连续性II《工科数学分析》

*函数的连续性II四则运算的连续性；反函数与复合函数的连续性；初等函数的连续性

一、四则运算的连续性定理1例如,

二、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.

定理3证

将上两步合起来:

意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解

例2解

定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,

三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★

定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定义区间是指包含在定义域内的区间.定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意注意2.初等函数求极限的方法代入法.

例3例4解解

函数的连续性III《工科数学分析》

*函数的连续性III最大值和最小值定理；（最值定理;有界性定理）介值定理；（零点（根的存在性）定理;介值定理）小结

一、最大值和最小值定理定义:例如,

定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.

定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证

二、介值定理定义:

几何解释:

几何解释:MBCAmab证由零点定理,

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例1证由零点定理,

例2证由零点定理,

三、小结四个定理最值定理;有界性定理;零点（根的存在性）定理;介值定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路2.直接法:利用最值定理,利用介值定理;1.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;

作业P589，11,12,13.