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为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。——张载

线性代数基本定理

线性代数基本定理

一、矩阵的运算

1.不可逆矩阵的运算不满足消去律

AB=O,A也可以不等于O

11

1-1?

=

0

÷?

÷

÷

è-1-1

è-11

è0

0?

2.矩阵不可交换

(A+B)2=A2+AB+BA+B

2

(AB)k

=ABABABAB...AB

3.常被忽略的矩阵运算规则

(A+B)T=AT+B

T

为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。——张载

(lA)T=lA

T

4.反称矩阵对角线元素全为

4.矩阵逆运算的简便运算

-1111(diag(a

1,a2

,...a,n

))

=diag(,,...,)

-1

1

-1

(kA)=

A

方法

1.特殊矩阵的乘法

A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且：

B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵

2.矩阵等价的判断

A@B?R(A)=R(B)

任何矩阵等价于其标准型

3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换

如：m*n的矩阵，左乘m阶为行变换，右乘

n阶为列变换

4.给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆

如：A2

-A-2I=O，证明(A+2I)可逆。把2I项挪到等式右边，左边凑

出含有

A+2I的一个多项式，

在确保A平方项与A项的系数分别为原式的系数情况下，看I项

为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。——张载

多加或少加了几个。

5.矩阵的分块进行计算

加法：分块方法完全相同

矩阵乘法（以A*B为例）：A的列的分法要与B行的分法一致，

如：

é

1-10

ùé

1000

ê

0úê

00

ê3-10