习题课(导数的应用.ppt

中值定理和导数的应用?一、微分中值定理及其应用拉格朗日中值定理1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理研究函数或导数的性态01证明恒等式或不等式02证明有关中值问题的结论032.微分中值定理的主要应用3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.例1.设函数例2.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点例3证由介值定理,??注意到由?,?有???+?,得例4二、洛必达法则洛必达法则用洛必达法则求未定式极限应注意什么？2o.及时求出已定式的极限.1o.先做无穷小代换.用洛必达法则求未定式极限应注意什么？3o.需要先验证条件.应该怎么做？例1解：例2.解：熟练掌握求函数极值(确定极大还是极小)和最值以及拐点的方法.求给定函数的竖直渐近线及斜渐近线.会做y=f(x)的图形.5熟悉常用的克劳林公式1会判别函数单调性、凹凸性。能利用函数的单调性做证明题.三、导数的应用函数单调性的判定法定理2.求函数极值和最值求极值的步骤：(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；求[a,b]上连续函数f(x)的最值的步骤：(1)求函数的所有驻点和导数不存在的点；(2)把f(x)在这些点的值与f(a),f(b)比较，最大者为最大值，最小者为最小值。注：若连续函数f(x)在区间I内有唯一的极值点。则极大值就是最大值；极小值就是最小值。3计算函数凹凸区间方法1:方法2:计算函数拐点方法4.给定函数y=f(x),求其竖直渐近线及斜渐近线。5.常用.马克劳林公式：2m-1阶2m阶5.常用马克劳林公式：....例1例2例3例4*