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第十一章三角形(压轴题专练)
【题型一三角形中高线的综合问题】
1.已知:点,,,,过点C是作y轴的垂线m,垂足为C.
??
(1)如图1,连接、,求的面积;
(2)如图2,延长BA交直线m交于点D,在CD上存在点P,使,请补全图形,并求点P的坐标;
(3)请在备用图中画图探究:若点P是直线m上的一个动点,连接交x轴于点M,连接,当时,直接写出点M的坐标
2.“等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法.如图1,在中,,作,若,,,可列式:,解得.
??
(1)在题干的基础上,
①如图2,点为上一点,作,,设,,求证:;
②如图3,当点在延长线上时,猜想、之间又有什么样的数量关系,请证明你的猜想;
(2)如图4,在中,,,,若点是延长线上一点,且,过点作,点是直线上一动点,点是直线上一动点,连接、,求的最小值.
3.在平面直角坐标系中,有点,,且a,b满足,将线段向上平移k个单位得到线段.
??
(1)直接写出______,______;
(2)如图1,点E为线段上任意一点,点F为线段上任意一点,.点G为线段与线段之间一点,连接,.且,,求的度数;
(3)如图2,若,过点C作直线轴,点M为直线l上一点,延长交l于K;
①用面积法求K点坐标;
②若的面积为10,求点M的坐标.
【题型二三角形中中线的综合问题】
1.【问题情境】
苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题:如图1,是的中线,与的面积有怎样的数量关系?
小旭同学在图1中作边上的高,根据中线的定义可知.又因为高相同,所以,于是.据此可得结论:三角形的一条中线平分该三角形的面积.
??
【深入探究】
(1)如图2,点在的边上,点在上.
①若是的中线,求证:;
②若,则______.
【拓展延伸】
(2)如图3,分别延长四边形的各边,使得点、、、分别为、、、的中点,依次连结、、、得四边形.
①求证:;
②若,则______.
2.基本性质:三角形中线等分三角形的面积.
如图1,是边上的中线,则.
理由:因为是边上的中线,所以.
又因为,,所以.
所以三角形中线等分三角形的面积.
基本应用:
在如图2至图4中,的面积为a.
(1)如图2,延长的边到点D,使,连接.若的面积为,则_(用含a的代数式表示);
(2)如图3,延长的边到点D,延长边到点E,使,,连接.若的面积为,则_(用含a的代数式表示);
(3)在图3的基础上延长到点F,使,连接,,得到(如图4).若阴影部分的面积为,则_(用含a的代数式表示);
拓展应用:
(4)如图5,点D是的边上任意一点,点E,F分别是线段,的中点,且的面积为,则的面积为_(用含a的代数式表示),并写出理由.
3.阅读与理解:
三角形的中线的性质:三角形的中线等分三角形的面积,即如图1,是中边上的中线,则.
理由:,,
即:等底同高的三角形面积相等.
操作与探索
在如图2至图4中,的面积为.
(1)如图2,延长的边到点,使,连接.若的面积为,则___________(用含的代数式表示);
(2)如图3,延长的边到点,延长边到点,使,,连接.若的面积为,则___________(用含的代数式表示),并写出理由;
(3)在图3的基础上延长到点,使,连接,,得到(如图.若阴影部分的面积为,则___________;(用含的代数式表示)
拓展与应用:
(4)如图5,已知四边形的面积是,、、、分别是、、、的中点,连接交于点O,求图中阴影部分的面积?
【题型三三角形中角平分线的综合问题】
1.已知,,点C是直线,下方一点,连接,.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,若,分别平分和,所在的直线相交于点H,若,求的度数;(用含的式子表示)
(3)如图3,若,分和两部分,且,,直线,相交于点H,则____________.(用含n和的式子表示)
2.在平面直角坐标系xoy中,已知A(a,0),B(-a,b)两点,并且a,b满足.
(1)请直接写出a,b的值;
(2)如图1,BC⊥x轴于点C,AB交y轴于点D,点F(m,n)在线段AB上,求点D的坐标,并求m与n满足的关系式;
(3)如图2,若CF,BE分别是△ABC的高与角平分线,BE交CF于点G,CH平分∠ECG,交BE于点H,求证:CH⊥BE.
【题型四三角形内角和与外角和的综合问题】
1.在中,点是延长线上一点.
????
(1)如图1,过点作,交于点,.
①若,则______°;
②试写出与的数量关系,并说明理由;
③当时,求的度数;
④若,请说明;
(2)如图2,交于点,,直接写出、与之间的数量关系.
2.(1)如图①所示,中,点是和的平分线的交点,
若,则_____________(用表示);不用说明理由,直接填空.
如图②所示,,
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