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高中概率分布函数经典习题及答案

一、二项分布

1.某电视综艺节目每期设三道竞猜题，每题有两个选项，已知

某观众对其中一题的正确率为60%，现在有一位观众对三道题均参

与竞猜，求他正确全部竞猜的概率。

解：设他每道题的正确率为p，则每道题的错误率为1-p，他

全部竞猜正确的概率为P(X=3)=[C(3,3)]*0.6^3*0.4^0=21.6%

所以，他全部竞猜正确的概率为21.6%。

2.在某加工厂中，总体不合格率为p，从全体产品中任意抽10

件产品，以不合格件数X为随机变量，试求不合格件数X的概率

分布、期望值及方差。

解：因为是抽10件产品，所以是一个10次伯努利试验，每一

次试验中，产品合格的概率为1-p，不合格概率为p，所以该实验

的概率分布可以用二项分布表示。

则不合格件数X的概率分布为P(X=k)=C(10,k)*p^k*(1-p)^(10-

k)，其中k取值为0,1,2,…,10。

其期望值为E(X)=np=10p，方差为D(X)=np(1-p)=10p(1-p)。

二、泊松分布

1.某货场在单位时间内平均有6辆货车到达，求：

（1）在一个时间段内恰有3辆货车到达的概率。

（2）在一个时间段内不超过4辆货车到达的概率。

解：

（1）设单位时间内X辆货车到达的概率服从泊松分布，则

X~Poisson(6)，则恰有3辆货车到达的概率为P(X=3)=e^(-

6)*6^3/3!=0.0504。

（2）P(X=4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=e^(-

6)*[6^0/0!+6^1/1!+6^2/2!+6^3/3!+6^4/4!]=0.8153。

三、指数分布

1.规定20个装配工人在生产线上流水作业，平均每人处理一个

产品需要10分钟，且加工时间服从指数分布，求：

（1）生产线上平均每分钟加工的产品数量。

（2）任意一个人处理时间小于2分钟的概率。

（3）有3个人处理时间小于2分钟的概率。

解：

（1）因为20个装配工人同时流水作业，所以生产线每分钟平

均加工的产品数量为20/10=2件。

（2）设任意一个人处理时间为X，X~Exp(1/10)，则

P(X2)=1-e^(-1/5)=0.3935。

（3）设3个人处理时间小于2分钟的概率为A，则

A=[C(20,3)*P(X2)^3*(1-P(X2))^17]=0.0027。

四、正态分布

1.某一道考试的平均分是80分，标准差是5分，试求：

（1）90分以上的有多少人？

（2）成绩低于70分的有多少人？

（3）如果要使70分以上的人数占总人数的10%，成绩应当设

在多少分以上？

解：

（1）设X为考生的考试成绩，X~N(80,25)，则

P(X90)=P(Z(90-80)/5)=P(Z2)=0.0228，其中Z为标准正态分布。

（2）P(X70)=P(Z(70-80)/5)=P(Z-2)=0.0228。

（3）设成绩设在a分以上，则P(Xa)=P(Z(a-80)/5)=1-

P(Z(a-80)/5)=0.1，由标准正态分布可以得到Z分数的值为1.28，

代入可得a=86.4分。

以上是高中概率分布函数中的常见习题及答案。