河南省九师联盟2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题.docx

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河南省九师联盟2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在数列中，，则（???）

A． B． C．16 D．32

2．已知直线在轴上的截距是，其倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（???）

A． B． C． D．

3．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（????）

A． B． C． D．

4．已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为（???）

A．2 B．4 C．6 D．8

5．已知数列中，，则数列前2024项的和为（???）

A．0 B．1012 C．2024 D．4048

6．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（????）

A．3天 B．4天 C．5天 D．6天

7．记曲线围成的平面图形的面积为，曲线围成的平面图形的面积为，则（????）

A． B． C．16 D．

8．已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于两点，且，则直线的斜率是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列数列中，为递增数列的是（???）

A． B． C． D．

10．如图，在正方体中，为底面的中心，分别为的中点，点满足，则（???）

A．平面 B．平面

C． D．四点共面

11．已知为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点，记点的轨迹为曲线，设在曲线上，且，则（???）

A．曲线的方程为

B．曲线的离心率为

C．经过且与曲线只有一个公共点的直线恰有两条

D．四边形面积的最小值为8

三、填空题

12．如图，若三棱柱的所有棱长都是，是棱的中点，则两点之间的距离等于．

13．若数列满足，且为其前项和，则的最小值为.

14．已知抛物线为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为．

四、解答题

15．已知是数列的前项和，若是等差数列，．

(1)求；

(2)求数列的通项公式．

16．如图，在三棱台中，平面是边长为2的正三角形，．

(1)求证：；

(2)求与平面所成角的正弦值．

17．已知椭圆的离心率为，左焦点为是上任意一点，且的最大值为3．

(1)求的方程；

(2)设的右顶点为，直线的方程为，若直线交于两点，求证：直线的斜率之和为，

18．设为抛物线的焦点，为上三个不同的点，且，．

(1)求的方程；

(2)设过点的直线交于两点．

①若直线交圆于两点，其中位于第一象限，求的最小值；

②过点作的垂线，直线交于两点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点．

19．对于各项均为正数的无穷数列，若，都有，其中为非零常数，则称数列是数列.

(1)判断无穷数列和是不是数列？若是，求出相应的常数的值；若不是，请说明理由；

(2)若是数列，且，

①记的前项和为，求证：；

②对任意的正整数，设，求数列的前项和.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

C

B

C

A

D

B

AD

ABD

题号

11

答案

AC

1．D

【分析】根据等比数列的通项公式计算．

【详解】，则，

则是公比为2的等比数列，

∴，

故选：D．

2．A

【分析】根据截距的定义，可得所求直线与轴的交点，根据直线求得倾斜角，通过斜率定义，可得答案.

【详解】由直线在轴上的截距是，则直线过，可得，解得；

由直线，设该直线的倾斜角为，则，解得，

设直线的倾斜角为，斜率为，

由，则，

由，则，解得.

故选：A.

3．C

【分析】根据题意，利用待定系数法求出抛物线方程，从而得解.

【详解】依题意，设抛物线方程为，

将代入得，则，

所以所求抛物线方程为.

故选：C.

4．B

【分析】由等差数列的前项和性质求得，然后由基本不等式得最大值．

【详解】是等差数列，则，，

要使得最大，则，

此时，当且仅当时取等号，

故选：B．

5．C

【分析】根据题目中的递推公式，利用列举法，写出数列前若干项，可得数列的周期性，可得答案.

【详解】由题意可得，，，，，…

则可得下表：

易知数列存在周期性