工科数学分析 上册（第2版）课件：极限的性质.pptx

极限的性质

《工科数学分析》

1、唯一性

定理1如果极限存在，则必唯一。

证

由定义,

故收敛数列极限唯一.

极限的性质(大部分证明以数列为例)

2、有界性或局部有界性

例如,

有界

无界

定理2收敛的数列必定有界.

证

由定义,

注意：有界性是数列收敛的必要条件.

推论无界数列必定发散.

注意：有界数列不一定收敛。

例1

证

由定义,

区间长度为1.

不可能同时位于长度为1的区间内.

定理(保号性)

3、局部保号性

证

由定义,

推论（保序性）

证

反证法

设A0,由局部保号性定理，有

矛盾

4、

5、归并性(函数极限与数列极限的关系)

定义

定理

证

例如,

函数极限与数列极限的关系(海涅定理)

函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.

（这一点可用来证明极限的不存在）

例2

证

二者不相等,

6、绝对值性质

定理

证

作业：P26

1，2，3，4