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以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》

二维矢量组的行列式

行列式是矢量形成的平行四边形的面积

在一个二维平面上，两个矢量和的行列式是：

[27]

比如说，两个矢量和的行列式是：

经计算可知，当系数是实数时，行列式表示的是矢量和形成的平行

四边形的有向面积，并有如下性质：

行列式为零当且仅当两个矢量共线（线性相关），这时平行四边形

退化成一条直线[29]。

如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形

以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》

面积为正当且仅当以原点为不动点将逆时针“转到”处时，扫过的

地方在平行四边形里，否则的话面积就是负的。如右图中，和所

构成的平行四边形的面积就是正的[31]。

行列式是一个双线性映射。也就是说，

，

并且

[29]。

行列式

其几何意义是：以同一个矢量v作为一条边的两个平行四边形的面积

之和，等于它们各自另一边的矢量u和u加起来后的矢量：u+u

和v所构成的平行四边形的面积，如左图中所示。

[编辑]三维矢量组的行列式

在三维的有向空间中，三个三维矢量的行列式是：

。[28]

以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》

比如说，三个矢量(2,1,5)、(6,0,8)和(3,2,4)的行列式

是：

当系数是实数时，行列式表示、和三个矢量形成的平行六面体的

有向体积，也叫做这三个矢量的混合积。同样的，可以观察到如下性质

[32]：

行列式为零当且仅当三个矢量共线或者共面（三者线性相关），这

时平行六面体退化为平面图形，体积为零[30]。

两个相邻平行六面体的体积之和

三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右

手定则来约定。比如右图中（u,v,w）所形成的平行六面体的体

积是正的，而（u,w,v）所形成的平行六面体的体积是负的。这

个定义和行列式的计算并不矛盾，因为行列式中矢量的坐标都是在

取好坐标系后才决定的，而坐标系的三个方向一般也是按照右手规

则来设定的。如果计算开始时坐标系的定向反过来的话，有向体积

的定义也要跟着反过来，这样行列式才能代表有向体积[30][33]。

这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个矢量有

，对

以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》

第二、第三个矢量也是如此。其几何意义和二维时基本相同，是指

当生成两个平