斯坦纳-莱默斯定理.doc

中学数学中的著名定理~PAGE4~

斯坦纳-莱默斯定理

【定理内容】

如果三角形中两内角平分线相等，则必为等腰三角形。

即：若、是的内角平分线，且，

则.

【背景简介】

这一命题的逆命题：“等腰三角形两底角的平分线长相等”，早在二千多年前的《几何原本》中就已作为定理，证明是很容易的。但上述命题在《几何原本》中只字未提，直到1840年，莱默斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆（C.Sturm）的信中提出请求给出一个纯几何证明。斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。直到1844年由瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796-1863）首先给出证明，因而这一定理就称为斯坦纳—莱默斯定理。

一百多年来，这个命题的证明吸引了许多数学家和数学爱好者。继斯坦纳之后，这一定理的丰富多彩的证明陆续发表，但大多是间接证法，直接证法难度颇大。

【证法欣赏】

证法1：（斯坦纳原证）

如图，假设．

则，从而(1)

在与中，

∵，公共，，

∴．（[笔者注]：依据余弦定理可得）

作平行四边形，连接．

∵，∴．

∵，∴．

∴，即(2)

(1)与(2)矛盾．∴≯．

同理≯．故．

【证法欣赏】

证法2：（海塞证法，德国数学家（L.O.Hesse,1811-1874））

作，使与分居于直线的两侧，并取，如图。

连结、，

由，得≌（），

∴,。

令，，

则

∵，∴,则，

在钝角与钝角中，

，，

∴≌,

∴，则，

则有≌,

∴，即。

【证法欣赏】

证法3：（三角函数）

令，，

则在与中，由正弦定理得：

，

即，，

∵，∴，

∴．

由三角函数的积化和差公式，整理得：

分组提取公因式，

，

再由和差化积公式，得：

∵，即，

∴，∴,

∴.

【定理推广】

[例1]如图，在中，于，为垂心，为上任意一点，延长线交于D，延长线交AB于E，且BD=CE．

求证：AB=AC．

证明：假设AB＞AC，则BT＞CT，BP＞CP，∠5＞∠6．

在△BCE与△CBD中，

因CE=BD，BC公共，∴BE＞CD．

设CH⊥AB于I，BH⊥AC于K．

在Rt△CIE与Rt△BKD中，

∵CE=BD，由AB＞AC，知CI＜BK，

∴∠8＜∠7．

∴∠BEC＞∠BDC(1)

作平行四边形BDCF，连接EF，

∵BE＞CD=BF，∴∠1＜∠2．

∵CE=BD=CF，∴∠3=∠4．

∴∠BEC＜∠BFC=∠BDC(2)

(l)与(2)矛盾．∴AB≯AC．

同理AC≯AB．故AB=AC．

[例2]在△ABC中，点M，N分别在AB，AC上，AM=AN．D，E分别为NC，MB的中点，且BD=CE．

求证：AB=AC．

证明：如图，假设AB＞AC，则BE＞CD，AE＞AD．

∵

∴sin∠5＞sin∠6．

但0°＜∠6＜90°，0°＜∠5＜180°，

∴∠5＞∠6．从而∠BEC＞∠BDC(1)

作平行四边形BDCF，连接EF．

∵BE＞CD=BF，∴∠1＜∠2

∵CE=BD=CF，∴∠3=∠4．

∴∠BEC＜∠BFC=∠BDC．(2)

(1)与(2)矛盾．

∵AB≯AC．

同理AC≯AB．故AB=AC．

[例3]在△ABC中，点M，N分别在AB，AC上，BM=CN．点D，E分别在AN，AM上，且DE∥MN，BD=CE．求证：AB=AC．

证明：如图，假设AB＞AC，则AM＞AN．

又DE∥MN，

∴AE＞AD，

EM＞DN，BE＞CD．

又

∴sin∠5＞sin∠6

但0°＜∠6＜90°．0°＜∠5＜180°，

∴∠5＞∠6．从而∠BEC＞∠BDC．(1)

作平行四边形BDCF，连接EF．

∵BE＞CD=BF，∴∠1＜∠2．

∵CE=BD=CF，

∴∠3=∠4．∴∠BEC＜∠BFC=∠BDC．(2)

(1)与(2)矛盾．∴AB≯AC．

同理AC≯AB．故AB=AC．

【练习】

1．在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，若BD=CE，且，则AB=AC．

2．在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点．BD与CE相交于P，若BD=CE，且，则AB=AC．