高中数学最全讲义（一）：2.4　幂函数与二次函数.docx

§2.4幂函数与二次函数

必威体育精装版考纲

考情考向分析

1.了解幂函数的概念．

2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝的图象，了解它们的变化情况．

3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质．

4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题.

以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

函数

特征

性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝

y＝x－1

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

{x|x∈R，且x≠0}

值域

R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

{y|y∈R，且y≠0}

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图象和性质

解析式

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

图象

定义域

(－∞，＋∞)

(－∞，＋∞)

值域

eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))

单调性

在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；

在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增

在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；

在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减

对称性

函数的图象关于x＝－eq\f(b,2a)对称

知识拓展

1．幂函数的图象和性质

(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．

(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；

当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．

2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0))时恒有f(x)0，当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0))时，恒有f(x)0.

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a).(×)

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(×)

(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(√)

(4)函数y＝2是幂函数．(×)

(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√)

(6)当n0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(×)

题组二教材改编

2．[P79T1]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于()

A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2

答案C

解析由幂函数的定义，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,\f(\r(2),2)＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α.))

∴k＝1，α＝eq\f(1,2).∴k＋α＝eq\f(3,2).

3．[P44A组T9]已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是()

A．a≥3 B．a≤3

C．a＜－3 D．a≤－3

答案D

解析函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知