高中数学最全讲义（一）：2.5　指数与指数函数.docx

§2.5指数与指数函数

必威体育精装版考纲

考情考向分析

1.了解指数函数模型的实际背景．

2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)的指数函数的图象．

4.体会指数函数是一类重要的函数模型.

直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.

1．分数指数幂

(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)．于是，在条件a0，m，n∈N*，且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a0，m，n∈N*，且n1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.

2．指数函数的图象与性质

y＝ax

a1

0a1

图象

定义域

(1)R

值域

(2)(0，＋∞)

性质

(3)过定点(0,1)

(4)当x0时，y1；当x0时，0y1

(5)当x0时，0y1；当x0时，y1

(6)在(－∞，＋∞)上是增函数

(7)在(－∞，＋∞)上是减函数

知识拓展

1．指数函数图象的画法

画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).

2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象越高，底数越大．

3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*)．(×)

(2)分数指数幂可以理解为eq\f(m,n)个a相乘．(×)

(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)

(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(×)

(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(√)

题组二教材改编

2．[P59A组T4]化简eq\r(4,16x8y4)(x＜0，y＜0)＝________.

答案－2x2y

3．[P56例6]若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，则f(－1)＝________.

答案eq\r(2)

解析由题意知eq\f(1,2)＝a2，所以a＝eq\f(\r(2),2)，

所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x，所以f(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))－1＝eq\r(2).

4．[P59A组T7]已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．

答案cba

解析∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x是减函数，

∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0，

即ab1，

又c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0＝1，

∴cba.

题组三易错自纠

5．计算：×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))0＋×eq\r(4,2)－＝________.

答案2

解析原式＝×1＋×－＝2.

6．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．

答案(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))

解析由题意知0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，

得－eq\r(2)＜a＜－1或1＜a＜eq\r(2).

7．已知函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，则a的值为________．

答案eq\f(1,2)或eq\f(3,2)

解析当0a1时，a－a2＝eq\f(a,2)，

∴a＝eq\f(1,2)或a＝0(舍去)．

当a1时，