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§2.5指数与指数函数
必威体育精装版考纲
考情考向分析
1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,eq\f(1,2),eq\f(1,3)的指数函数的图象.
4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
直接考查指数函数的图象与性质;以指数函数为载体,考查函数与方程、不等式等交汇问题,题型一般为选择、填空题,中档难度.
1.分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是=eq\r(n,am)(a0,m,n∈N*,且n1).于是,在条件a0,m,n∈N*,且n1下,根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定=(a0,m,n∈N*,且n1).0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的运算性质:aras=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr,其中a0,b0,r,s∈Q.
2.指数函数的图象与性质
y=ax
a1
0a1
图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0,+∞)
性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x0时,y1;当x0时,0y1
(5)当x0时,0y1;当x0时,y1
(6)在(-∞,+∞)上是增函数
(7)在(-∞,+∞)上是减函数
知识拓展
1.指数函数图象的画法
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,\f(1,a))).
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a0,a≠1)的图象越高,底数越大.
3.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)eq\r(n,an)=(eq\r(n,a))n=a(n∈N*).(×)
(2)分数指数幂可以理解为eq\f(m,n)个a相乘.(×)
(3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.(√)
(4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(×)
(5)函数y=2-x在R上为单调减函数.(√)
题组二教材改编
2.[P59A组T4]化简eq\r(4,16x8y4)(x<0,y<0)=________.
答案-2x2y
3.[P56例6]若函数f(x)=ax(a0,且a≠1)的图象经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,\f(1,2))),则f(-1)=________.
答案eq\r(2)
解析由题意知eq\f(1,2)=a2,所以a=eq\f(\r(2),2),
所以f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x,所以f(-1)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))-1=eq\r(2).
4.[P59A组T7]已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是________.
答案cba
解析∵y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x是减函数,
∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0,
即ab1,
又c=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0=1,
∴cba.
题组三易错自纠
5.计算:×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(7,6)))0+×eq\r(4,2)-=________.
答案2
解析原式=×1+×-=2.
6.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是________.
答案(-eq\r(2),-1)∪(1,eq\r(2))
解析由题意知0<a2-1<1,即1<a2<2,
得-eq\r(2)<a<-1或1<a<eq\r(2).
7.已知函数f(x)=ax(a0,a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2),则a的值为________.
答案eq\f(1,2)或eq\f(3,2)
解析当0a1时,a-a2=eq\f(a,2),
∴a=eq\f(1,2)或a=0(舍去).
当a1时,
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