高中数学最全讲义（一）：4.5 简单的三角恒等变换.docx

§4.5简单的三角恒等变换

必威体育精装版考纲

考情考向分析

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．

3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))

tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))

tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))

2．二倍角公式

sin2α＝2sinαcosα；

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).

知识拓展

1．降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).

2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.

3．辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)

(2)对任意角α都有1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2.(√)

(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)

(4)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)

题组二教材改编

2．[P127T2]若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()

A．－eq\f(\r(2),10)B.eq\f(\r(2),10)C．－eq\f(7\r(2),10)D.eq\f(7\r(2),10)

答案C

解析∵α是第三象限角，

∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(3,5)，

∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).

3．[P131T5]sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.

答案eq\f(\r(2),2)

解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°

＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°

＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°

＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°

＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝eq\f(\r(2),2).

4．[P146T4]tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝.

答案eq\r(3)

解析∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝eq\f(tan20°＋tan40°,1－tan20°tan40°)，

∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan2