高中数学最全讲义（一）：5.2 平面向量基本定理及坐标表示.docx

§5.2平面向量基本定理及坐标表示

必威体育精装版考纲

考情考向分析

1.了解平面向量基本定理及其意义．

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以选择题、填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线?x1y2－x2y1＝0.

知识拓展

1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(×)

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．(√)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)

(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)

(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)

题组二教材改编

2．[P97例5]已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．

答案(1,5)

解析设D(x，y)，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，

即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))

3．[P119A组T9]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)＝________.

答案－eq\f(1,2)

解析由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，

得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．

由ma＋nb与a－2b共线，

得eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).

题组三易错自纠

4．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.

答案0

5．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.

答案(－7，－4)

解析根据题意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，

∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．

6．(2016·全国Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.

答案－6

解析因为a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.

题型一平面向量基本定理的应用

1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()

A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)

B．e1＝(－1,