广东省广州市真光中学（汾水校区）2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（含答案解析）.docx

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广东省广州市真光中学（汾水校区）2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（????）

A． B． C． D．

2．在等差数列中，，．则数列中负数项的个数为（????）

A．11 B．12 C．13 D．14

3．在中，已知，，，则边上的中线长为（????）

A． B．6 C． D．7

4．在新一轮的高考改革中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,则所选的两科中一定有生物的概率是

A． B． C． D．

5．设椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（???）

A． B． C． D．

6．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（????）

A． B． C． D．

7．如图①，在中，分别为上的点，.如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为（????）

??

A． B． C． D．

8．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线，，切点为A，B使得，则椭圆的离心率的取值范围是（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知圆，直线.则以下命题正确的有（）

A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为

C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为

10．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（????）

A． B．双曲线的渐近线方程为

C．双曲线的离心率为 D．

11．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（???）

A．一定是异面直线

B．存在点，使得

C．直线与平面所成角的正切值的最大值为5

D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值

三、填空题

12．已知向量，，若，则.

13．已知点在焦点为的抛物线上，若，则.

14．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是.

四、解答题

15．已知数列是等差数列，是的前项和，，.

（1）判断是否是数列中的项，并说明理由；

（2）求的最小值.

16．已知动圆经过点，且与直线相切.

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）已知是（1）中的轨迹上的两个动点，为坐标原点，且直线与的斜率之积为，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.

17．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长；

(3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程.

18．在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为AB的中点.

??

(1)求证：；

(2)求平面与平面所成角的余弦值；

(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

19．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.

（i）求m的取值范围；

（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

B

B

C

C

C

B

C

CD

CD

题号

11

答案

AD

1．A

【分析】直线方程化为斜截式，得出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求解.

【详解】直线化为斜截式，设其倾斜角为，

则直线的斜率为，

因为，所以，

故选：A.

2．B

【分析】根据等差数列的通项公式可得