（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测02函数的性质（教师版）.docVIP

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第02课函数的性质

考点01：判断函数单调性

【例1】下列函数中，在区间上是减函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.

【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；

对于B：在定义域上单调递增，故B错误；

对于C：定义域为，因为在上单调递减且值域为，

又在定义域上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；

对于D：，函数在上单调递减，故D正确；故选：D

【变式1】已知函数同时满足性质：①；②当时，，则函数可能为（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，确定函数的奇偶性和在上的单调性，再逐项判断作答.

【详解】由，知函数是偶函数，由当时，，知在上单调递减，对于A，函数在上单调递增，A不是；对于B，指数函数不具奇偶性，B不是；对于D，当时，在上单调递增，D不是；对于C，函数是偶函数，当时，，而余弦函数在上单调递减，即在上单调递减，C是.故选：C

【变式2】下列命题正确的是（????）

A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数

C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同

【答案】C

【分析】分别判断出，，和的单调性，即可判断．

【详解】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误；

对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误；

对于C：在是增函数，在是减函数，

，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确；

对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数；

设定义域为，取，

则，

当时，，即在上单调递减，

当，，即在上单调递减，

同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，

故选：C．

考点02：求函数的单调区间

【例2】函数的单调递减区间是（????）

A．B．和C．D．和

【答案】B

【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求

【详解】，则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；当，的单调递减区间为，故的单调递减区间是和.故选：B

【变式3】函数的单调减区间为．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答.

【详解】函数的定义域为R，令，函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在R上是增函数，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的严格减区间为.故答案为：

【变式4】已知函数的单调增区间为__________．

【答案】.

【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.

【详解】解：令，由，可得，所以，

解得，所以函数的定义域为，由余弦函数的性质可知：在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域上为单调递增函数，由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为.故答案为：

考点03：函数的最值问题

【例3】函数的最小值为________.

【答案】

【解析】根据函数解析式，先令，将问题转为求函数在上的最值问题，根据单调性，即可求解.

【详解】因为，，

令，则，所以

令，，因为指数函数与一次函数都是增函数，所以也是增函数，所以时，.故答案为：.

【变式5】函数y=+的最大值为__________.

【答案】

【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】由，解得，即函数的定义域为，，

当时，取得最大值，即.故答案为：

【变式6】已知函数在区间上的最大值为，则实数的值为______．

【答案】

【分析】将函数化为，,，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最大值，解方程即可得到所求值．

【详解】解：函数，即，,，当时，不成立；

当，即时，在,递减，可得为最大值，即，解得，成立；

当，即时，在,递增，可得为最大值，即，解得，不成立；

综上可得．故答案为：.

考点04：恒成立问题与存在性问题

【例4】不等式对满足的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为．

【答案】.

【分析】构造函数，原不等式等价为对于任意恒成立，从而只需满足即可，进而解不等式可得答案.

【详解】不等式化为：对于任意的恒成立，令，要使对于任意恒成立，由于函数是关于的一条直线，则有，解得，故x的取值范围为.

【变式7】若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分离参数将问题转化为有解，计算即可.

【详解】由题知，而，所以，又，所以.因为关于的不等式有实数解，即有实数解，所以，即.

故选：A

【变式8】若存在实数，使得不等式