（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测03指对幂函数（教师版）.docVIP

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第03课指对幂函数

考点01：指数幂的运算

【例1】（多选）下列判断正确的有（????）

A． B．（其中）

C． D．（其中，）

【答案】BCD

【分析】根据根式的性质判断A，根据分数指数幂的运算性质判断B，C，D.

【详解】对于选项A，，A错误；

对于选项B，因为，所以，B正确；

对于选项C，，C正确；

对于选项D，因为，，所以，D正确；故选：BCD.

【变式1】计算：

(1)；(2)已知：，求的值.

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；

（2）在等式两边平方可得出，再利用平方关系可求得，代入计算可得出的值.

【详解】（1）解：原式.

（2）解：因为，则，所以，，

所以，，可得，，因此，.

考点02：对数的运算

【例2】已知，，则（????）

A． B． C．25 D．5

【答案】A

【分析】由指对互换，表示出，代入原式即可.

【详解】由，.故选：A.

【变式3】（多选）已知，，则（????）

A．B．C．D．

【答案】ACD

【详解】对A：，A正确；对B：，B错误；

对C：，C正确；对D：，D正确.

故选：ACD.

考点03：指对幂函数的定义

【例3】幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为_________．

【答案】或

【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于的不等式组，解得即可求出的值.

【详解】是幂函数，也是偶函数，且在上为增函数，

且为偶数，解得或，当时，，当时，.

故答案为：或

【变式3】已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为__________．

【答案】

【分析】根据幂函数定义，由求得m，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.

【详解】由幂函数知，得或.当时，图象与坐标轴有交点，当时，与坐标轴无交点，∴.故答案为:

考点04：定义域和值域

【例4】下列函数中，定义域和值域不相同的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.

【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；对于D：的定义域为；当时，；当时，；所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D．

【变式4】已知函数的值域是，则实数m的取值范围是______．

【答案】．

【分析】分别求出和时的取值范围，然后由值域可得集合的关系，从而得参数范围．

【详解】时，且，即，因此时，的取值范围应包含，

又时，，所以．故答案为：．

【变式5】已知函数，，则其值域为_______．

【答案】

【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.

【详解】令，∵，∴，∴，，又关于对称，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，且，时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，.

考点05：图象的问题

【例5】已知，且，则函数与的图象只可能是（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的性质结合条件分析即得.

【详解】当时，函数为增函数，且直线与y轴的交点的纵坐标大于1；当时，函数为减函数，且直线与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，故选：C．

【变式6】已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（????）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据对数函数的图象，求得参数范围；再根据幂函数的图象，即可容易判断.

【详解】由的图象可知，，所以，得，，所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.故选：B.

考点06：定点问题

【例6】（多选）下列函数的图象过定点的有（????）

A．B．C．D．

【答案】AD

【分析】在每个选项中令，计算函数值，即可判断答案.

【详解】根据题意，在每个选项中令，选项A中，，故函数图象过点，A正确.选项B中，，故函数图象不过定点，B错误.选项C中，，，故，故图象不过定点，C错误.选项D中，，故函数图象过点，D正确.

故选：AD.

【变式7】已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（????）

A． B．2 C．1 D．

【答案】B

【详解】函数中，令，解得，此时，所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得，所以，.故选：B.

【变式8】函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_________．

【答案】

【分析】根据指数函数图象的特点，求出点顶点，得到，再由，利用基本不等式即可求解.

【详解】令，可得，此时，