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《基本不等式》教学设计

教学设计

活动1：预习材料、回顾重要不等式，通过换元得到基本不等式并认识基本不等式.

（1）上一节中我们从第24届国际数学家大会的会标中得到一个重要不等式，你还记得吗？

提示：，，有（当且仅当时，等号成立）.

（2）在重要不等式中，用代替，代替可得到什么结论？

提示：如果，，则（当且仅当时，等号成立）.

（3）你是如何理解结论中“当且仅当”的含义的？

提示：在，的前提之下，由可知，反之由可知.

设计意图：检查学生预习情况，使学生了解基本不等式的形式，理解其不等号和等号成立的条件.

师：抽查学生预习情况，解决学生遇到的问题，帮助学生理解基本不等式的含义.

生：预习、了解基本不等式的形式及其注意事项.

活动2：证明基本不等式.

（1）你能用不等式的性质来证明基本不等式吗？

提示：作差、判断符号即可.

（2）观察教材第37页的证明过程，你学会了什么？

要想证明一个结论，可以从这个结论入手，看看要证明它就需要证明什么，以此类推，最后得到一个定理或公理或恒成立的式子，再把这个推理过程反向写出来，即完成了证明.这是一种行之有效的证明方法，在很多证明题中都有应用，应该让学生牢记这种方法.

（3）基本不等式有几何解释吗？有的话它的几何意义是什么？

提示：半弦长不超过半径长（两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数）.

设计意图：用代数的方法证明基本不等式，加深学生对基本不等式的理解，提升学生逻辑推理素养，同时培养学生从运动变化的角度思考问题、解决问题的能力，从形的角度得到基本不等式的几何解释，提升学生直观想象素养.

师：引导学生用比较法、综合法及分析法证明基本不等式，通过动态图形引导学生寻找数量关系的几何解释.

生：思考、尝试证明，直观想象基本不等式的几何意义.

活动3：学生独立思考、组内讨论，派小组代表解答例1和例2.

例1已知,求的最小值.

例2已知x，y

（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；

（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值

（1）例1中何时能取到最小值？

提示：当且仅当，即时，取到最小值.

（2）例1中为什么能取到最小值？

提示；任意，由为定值，可知.

（3）例2的结论说明了两正数的和与积两者之间的什么关系？

提示：最值定理：①当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值（积定和小）；

②当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值（和定积大）.

说明：这两个结论十分有用，尤其在解决实际问题中的最值问题时可以提高解题效率，应让学生牢记它们的前提条件、有最值的条件以及是最大值还是最小值，且切莫记混.

例1分析：表达式是两正数和的形式，且它们的积是一个常数，从而利用基本不等式可得结论.

证明：因为，所以.当且仅当，即时，等号成立，因此所求的最小值为2.

设计意图：考查学生对基本不等式的掌握情况，是否真正理解基本不等式，并能注意应用公式时需要注意的条件。

师：引导学生观察已知条件，对比基本不等式，思考如何利用基本不等式解题，并点评学生答题情况.

生：思考、对比基本不等式的形式，尝试思考、讨论，并展示成果.

活动4：利用基本不等式解决实际问题中的求最大（小）值问题，尝试完成例3和例4.

例3（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为36m的篱笆国成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

（1）你能用字母或式子表示出例题中所求量吗？

提示：例3中设矩形菜园的相邻两边的长分别为，，则篱笆的长度为，面积为；

例4中设贮水池池底的相邻两边的边长分别为，，水池的总造价为元，则.

（2）代数式或表达式中存在定值吗？

提示：例3（1）中为定值，例3（2）中为定值；

例4中为定值.

（3）你能总结利用基本不等式解决实际问题的步骤吗？

提示：第一步：先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

第二步：建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

第三步：在定义城内，求出函数的最大值或最小值；

第四步；正确写出答案.

例3解：设矩形菜园的相邻两边的长分别为，，则篱笆的长度为.

（1）由已知得.由，可得，所以，当且仅当时，等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10的正方形时，所用篱笆最短，最短