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第五节直接证明与间接证明
讲核心考点·全突破考点一综合法考点二分析法考点三反证法练考题预测·全过关课时分层提升练内容索引
考点一
【对点练通】已知ab0,求证:(1)a+b+3(2)
【证明】(1)a+b+3-
因为所以所以a+b+3
(2)因为ab,所以2a+ba+2b,所以ab+2a+b+2ab+a+2b+2,即(a+1)(b+2)(a+2)(b+1),所以
所以a+b+3+a+b+3+即所以所以
【变式备选】(1)已知:x,y,z为互不相等的实数,且求证:x2y2z2=1.(2)已知:|x|≤1,|y|≤1,求证:
【解析】(1)根据条件可得,又因为x,y,z为互不相等的实数,则有yz=同理可得所以x2y2z2=
(2)(x+y)2-(1+xy)2=x2+y2-x2y2-1=(x2-1)(1-y2)由|x|≤1,|y|≤1得,x2≤1,y2≤1.所以:(x2-1)(1-y2)≤0.得:(x+y)2≤(1+xy)2,故
考点二
【对点练通】在各项均为正数的数列{an}中,(1)当a3=2时,求a1的值.(2)求证:当n≥2时,an+1≤an.
【解析】(1)因为a3=2,所以a3=所以+4=4a2,解得a2=2,同理解得a1=2.
(2)要证n≥2时,an+1≤an,只需证只需证只需证只需证≥4,只需证an≥2.而an=所以原命题成立.
考点三
【对点练通】已知a,b,c∈(0,+∞).求证:中至少有一个不小于6.
【证明】假设都小于6,即所因为a,b,c∈(0,+∞).所以(当且仅当a=4,b=2,c=3时取等号)这与假设18相矛盾,故假设不成立,从而原结论成立.
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