孝义市第二中学校2025届高三上学期12月月考数学试卷(含答案).docxVIP

孝义市第二中学校2025届高三上学期12月月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．若复数z满足,则()

A.1 B. C.2 D.

2．已知集合,,则()

A. B. C. D.

3．已知向量,满足,在上的投影向量为,则()

A. B. C.12 D.6

4．记等比数列的前n项和为,若,,则()

A. B. C.32 D.64

5．已知正方体,E为棱的中点,则异面直线,所成角的余弦值为()

A. B. C. D.

6．如图为一块三角形铁片,已知,,,现在这块铁片中间发现一个小洞,记为点D,,.过点D作一条直线分别交的边,于点E,F,并沿直线裁掉,则裁掉的面积的最小值为()

A. B.8 C. D.4

7．设定义在R上的函数的图象关于对称,为奇函数,若,则()

A.0 B.2 C.4 D.2025

8．已知,,,则()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．下列命题正确的是()

A.若为纯虚数,,则

B.若,m,,则,

C.若在复平面内z对应的点的坐标为,则

D.若是关于x的方程的根,则

10．记为等差数列的前n项和,则()

A.

B.若的公差不为,,则

C.,,成等差数列

D.是等差数列

11．如图,在直三棱柱中,,,P,Q分别为,的中点,则()

A.平面 B.平面

C.到平面的距离为 D.到直线的距离为

三、填空题

12．某大型商场计划设计一个停车场,根据地形,设计6排停车位,靠近商场的第1排设计7个停车位,从第2排开始,每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1,则设计的停车位的总数是________.

13．已知四面体中,,,,则该四面体外接球的表面积为________.

14．已知,,,,则的取值范围是________.

四、解答题

15．已知等比数列满足,其前n项和为.

（1）求的通项公式;

（2）记,求.

16．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中,,.

（1）求A;

（2）求的面积.

17．如图,在三棱柱中,,,,,二面角的余弦值为.

（1）证明:四边形为菱形;

（2）侧棱上是否存在点D,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,确定点D的位置;若不存在,说明理由.

18．已知函数.

（1）若,求的最大值;

（2）若,证明:;

（3）若,时,恒成立,求c的取值范围.

19．对于给定的数列以及正整数m,若,使得成立,则称为“m阶可分拆数列”.

（1）设,证明:为“3阶可分拆数列”;

（2）设的前n项和为,若为“1阶可分拆数列”,求实数a的值;

（3）设,是否存在m,使得为“m阶可分拆数列”?若存在,请求出所有m的值;若不存在,请说明理由.

参考答案

1．答案：D

解析：由,得,

所以.

故选:D

2．答案：C

解析：由,得,则;由,得,则,

所以.

故选:C

3．答案：A

解析：因为在上的投影向量为,所以.

故选:A.

4．答案：D

解析：设等比数列的公比为q,由,得,

则,即,而,因此,

所以.

故选:D

5．答案：A

解析：在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,令,

则,,,,,,

因此,

所以异面直线,所成角的余弦值为.

故选:A

6．答案：B

解析：设,,

因为,,所以,

由,得,

则,平方整理得,

当且仅当,即,时等号成立,

所以.

故选:B.

7．答案：B

解析：在R上的函数的图象关于对称,则,

由为奇函数,得,于是,

,因此函数是以4为周期的周期函数,

由,得,由,得,

而,则,所以.

故选:B

8．答案：C

解析：由,,,得,,

令,,求导得,令,,

求导得,函数在上单调递减,,

即,函数在上单调递减,则,

即,,因此;

令,求导得,当时,,

即,函数在上单调递减,则,

即,,因此,

所以.

故选:C

9．答案：BD

解析：对于A,因为为纯虚数,,

所以,解得,故A错误;

对于B,因为,m,,

所以,解得,故B正确;

对于C,因为在复平面内z对应的点的坐标为,所以,

所以,,故C错误;

对于D,因为是关于x的方程的根,

所以,所以,

整理得,所以,解得,故D正确.

故选:BD.

10．答案：ACD

解析：的首项为,公差为d,

对于A:,,所以,故正确;

对于B:,,

又因为,所以,解得,故错误;

对于C:,,,

所以,

,

所以,所以,,成等差数列,故正确;

对于D:因为,所以,

所以是公差为d的等差数列,故正确;

故选:ACD.

11．答案：ABD

解析：对于A,在直三棱柱中,平面,平面,

则,由,P为的中点,得,

而,,平面,因此平面,A正确;

取中点D,连接,由矩形,得,则直线,,两两垂直,

以点P为原点,