专题26 统计、概率与分布列大题-2025年高考数学一轮复习知识清单（全国通用）（解析版）.docx

专题26统计、概率与分布列大题归类

目录

TOC\o1-1\h\u题型一：非线性回归型 1

题型二：数据调整型 5

题型三：残差型 8

题型四：相关系数型 12

题型五：二项分布型 16

题型六：超几何分布 21

题型七：正态分布型 24

题型八：下棋与比赛型分布列 29

题型九：数列递推型：马尔科夫链 33

题型十：数列递推型：传球模式 38

题型十一：多线程多人比赛型 41

题型十二：跳棋模式分布列 48

题型十三：分布列导数计算求最值 53

题型十四：新高考分布列型第19题 57

题型十五：分布列综合 63

题型一：非线性回归型

非线性回归，可以通过换元转化为线性回归。比较常见的有反比例型换元，一元二次型换元，指数型换元，对数型换元，对于指数型，也可以通过取对数换元转化为线性回归。

非线性回归，可以通过换元转化为线性回归。比较常见的有反比例型换元，一元二次型换元，指数型换元，对数型换元，对于指数型，也可以通过取对数换元转化为线性回归。

1．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：

44

4.8

10

40.3

1.612

19.5

8.06

现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.

(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?

(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?

【答案】(1)模型②的拟合程度更好(2)，13（百万辆）

【分析】（1）分别求出两种模型的相关系数，再根据相关系数的几何意义即可得出结论；

（2）先利用最小二乘法求出关于的回归方程，再令，即可得解.

【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为，，

由题意可得：，

，

所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好；

（2）因为，又由，，

得，所以，即回归方程为.

当时，，因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.

2．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下：

直播周期数x

1

2

3

4

5

产品销售额y（千元）

3

7

15

30

40

根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：

3.7

55

382

65

978

101

其中

(1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程；

(2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01）

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：.

【答案】(1)；(2)乙建立的回归模型拟合效果更好.

【分析】（1）对两边取对数得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；

（2）根据公式计算可得相关指数，由此可得结论；

【详解】（1）将两边取对数得：，令，则，

因为，所以根据最小二乘估计可知：，

所以，所以回归方程为，即.

（2）甲建立的回归模型的.

所以乙建立的回归模型拟合效果更好.

3．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：

温度

21

23

24

27

29

32

产卵数个

6

11

20

27

57

77

经计算得：线性回归模型的残差平方和，其中分别为观测数据中的温差和产卵数，.

(1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）；

(2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数0.9522.

（i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好.

（ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.

附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数.

【答案】(1)(2)（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii）；

【分析】（1）求出、后代入公式直接计算得、，即可得解；

（2）（i）求出线性回归模型的相关指数，与比较即可得解；

（ii）直接把代入，计算即可得解.

【详解】（1）由题意，则，，，