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学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎

全国高中物理竞赛复赛试题及答案

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷

一、（15分）

给定一个半径为R的均匀带电球体a，球心为O。已知球

表面处的电势为U=1000V，取无限远处的电势为零。一个动

能为2000eV的质子b以与OO平行的方向射向a。设b与

OO线之间的垂直距离为l，求l的最大值，使得质子b能够

与带电球体a的表面相碰。再将质子换成电子，求l的最大值。

二、（15分）

一个U形管包含两支管A、B和水平管C，它们都是由内

径均匀的细玻璃管制成的。三部分的截面积分别为

SA=1.0×10^-2cm^2，SB=3.0×10^-2cm^2，SC=2.0×10^-2

cm^2.在C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭。当温度为

t1=27℃时，空气柱长为l=30cm，C中气柱两侧的水银柱长分

别为a=2.0cm和b=3.0cm，A、B两支管都很长，其中的水银

柱高均为h=12cm。大气压强保持为p=76cmHg不变。不考虑

学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎

温度变化时管和水银的热膨胀。试求气柱中空气温度缓慢升高

到t=97℃时空气的体积。

三、（20分）

有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想。其设

想如下：沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处A

和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时

自由释放。只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，

即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道。设待发卫星上有

一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的

速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小。

这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星。若人

造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的

距离为多少？已知M=20m，地球半径R=6400km。假定地球

是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹

性的。

四、(20分)

一个半径为R、折射率为n的玻璃半球放在空气中，平表

面中央半径为h的区域被涂黑。一平行光束垂直入射到此平面

学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎

上，正好覆盖整个表面。Ox为以球心O为原点，与平而垂直

的坐标轴。通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线

通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的

分界点的坐标。

VV，（2）

其中p和V分别表示气柱中的空气的初始压强和体积，h

表示水银柱的高度，V表示水银柱下方空气的体积。根据理

想气体状态方程，可得

pVnRT，（3）

其中n为气体的摩尔数，R为气体常数，T为气体的温度。

将式（1）和式（2）代入式（3）中，得到

ph)(VV)=nRT，（4）

展开式（4），并忽略V与V的乘积，得到

pVhVpV=nRT，（5）

将式（3）代入式（5）中，得到

pVhVpV=pV，（6）

化简得到