3.3 垂径定理 课件(共25张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册.pptxVIP

第三章圆*3垂径定理北师大版-数学-九年级下册

学习目标1．会运用圆的对称性探究垂径定理，证明垂径定理.2．掌握垂径定理及其推论，能利用垂径定理及其推论进行相关的计算和证明.3．在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.

学习目标【重点】理解垂径定理及其推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题.【难点】利用垂径定理及其推论解决实际问题.

新课导入你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋朝建造的石拱桥，它的主桥是圆弧形,它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4m,拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出桥拱所在圆的半径吗？

新知探究知识点垂径定理及其推论1问题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂足为M.（1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？此图是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线.

新知探究（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.AM=BM，AC=BC，AD=BD.理由：将图形沿CD折叠后这些量可以完全重合.⌒⌒⌒⌒

新知探究试一试：能不能用所学过的知识证明你的结论？已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M.求证：AM=BM，AC=BC，AD=BD.证明：连接OA，OB，则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.∴AC=BC.∵∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC，∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

新知探究用几何语言表述为：∵CD是直径，CD⊥AB，(条件)∴AM=BM，AC=BC,AD=BD.(结论)⌒⌒⌒⌒垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.

新知探究垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOCABODC

新知探究练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？CDABOCDEOCDABO定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦.

如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.新知探究CDABMO此图是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线.直径CD⊥AB，AC=BC，AD=BD.理由：连接OA，OB，易证△OAM≌△OBM，即可得出上述结论.⌒⌒⌒⌒

新知探究用几何语言表述为：∵CD是直径，AE=BE，（条件）∴AB⊥CD，AC=BC，AD=BD.（结论）⌒⌒⌒⌒垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

新知探究思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.特别说明：圆的两条直径是互相平分的.·OABCD

新知探究根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.归纳总结

新知探究知识点垂径定理的应用2例如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD所在圆的圆心),其中CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.⌒⌒⌒解:连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF=（R-90）m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300（m）.在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+（R-90）2.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m.

新知探究试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?

新知探究解：∵OD⊥AB，∴AD=AB=×37.4=18.7（m）.在Rt△ODA中，OD=（R-7.2）m，OA=Rm，∴R2=（R-7.2）2+18.72.解得R≈27.9.因此，桥拱所在圆的半径约为27.9m.

新知探究涉及垂径定理时辅助线的添加方法：在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.OABC·弓形中重要数量关系：弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d+h=r，ABCDOhrd

垂径定理推论内容垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并