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穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》

傅里叶变换最通俗的理解

傅里叶变换是一种数学工具，它可以将一个周期性信号分解成多个不

同频率的正弦波，并且可以将非周期性信号转换成一个连续的频谱图。

在信号处理、图像处理、音频处理等领域中，傅里叶变换被广泛应用。

本文将从以下几个方面来解释傅里叶变换的原理和应用。

一、什么是傅里叶级数

在介绍傅里叶变换之前，我们需要先了解傅里叶级数。傅里叶级数是

一种将周期性函数表示为无穷多个正弦和余弦函数之和的方法。具体

地说，给定一个周期为T的函数f(t)，可以表示为以下形式：

f(t)=a0+Σ(an*cos(nωt)+bn*sin(nωt))

其中ω=2π/T，a0、an和bn是常数系数。

这个式子意味着，任何一个周期函数都可以被分解成由不同频率的正

弦波组成的和。这就是傅里叶级数的基本思想。

二、什么是离散时间傅里叶变换

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离散时间傅里叶变换（DiscreteFourierTransform,DFT）是一种将

离散时间序列（例如数字信号）转换为频域表示的方法。它可以将一

个长度为N的离散时间序列x(n)转换成一个长度为N的复数序列X(k)，

其中k=0,1,...,N-1。具体地说，DFT可以用以下公式表示：

X(k)=Σ(x(n)*exp(-j2πnk/N))

其中j是虚数单位，n和k分别是时间和频率的索引。

这个式子意味着，任何一个离散信号都可以被分解成由不同频率的正

弦波组成的和。DFT将原始信号转换成了一组复数表示，其中每个复

数表示了对应频率上正弦波和余弦波的振幅和相位。

三、什么是傅里叶变换

傅里叶变换（FourierTransform,FT）是一种将连续时间信号转换为

频域表示的方法。它可以将一个连续时间函数f(t)转换成一个连续频谱

函数F(ω)，其中ω是角频率。具体地说，FT可以用以下公式表示：

F(ω)=∫f(t)*exp(-jωt)dt

这个式子意味着，任何一个连续信号都可以被分解成由不同角频率的

正弦波组成的积分。FT将原始信号转换成了一组复数表示，其中每个

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复数表示了对应角频率上正弦波和余弦波的振幅和相位。

四、傅里叶变换的应用

傅里叶变换在信号处理、图像处理、音频处理等领域中被广泛应用。

以下是一些常见的应用场景：

1.信号滤波：通过将信号转换到频域，可以方便地进行滤波操作。例

如，可以使用低通滤波器来去除高频噪声，或者使用高通滤波器来去

除低频噪声。

2.图像压缩：图像可以看作是由许多像素点组成的离散信号。通过将

图像转换到频域，并保留主要的低频分量，可以实现对图像的压缩。

3.音频处理：音频也可以看作是由许多离散样本组成的离散信号。通

过将音频转换到频域，并进行一些操作（例如均衡器、降噪等），可

以改善音质或者去除杂音。

总结

傅里叶变换是一种将信号从时间域转换到频域表示的方法。它可以将

一个周期性函数或者离散时间序列分解成多个不同频率的正弦波，并

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且可以将非周期性函数转换成一个连续的频谱图。傅里叶变换在信号

处理、图像处理、音频处理等领域中被广泛应用。