高中数学 同步教学 等差数列的概念与通项公式.ppt

高中·数学高中·数学2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课标要求:1.通过实例,理解等差数列和等差中项的概念,深化认识并能运用.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一次函数的关系.自主学习知识探究1.等差数列的定义(1)一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的,公差通常用字母d表示.(2)由等差数列的定义知,等差数列{an}满足a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d,其中d是与n无关的常数.因此,等差数列的定义可用数学符号语言描述为an-an-1=d对任意的n≥2,n∈N*均成立,故an+1-an=d对任意的n∈N*均成立,上述两式通常作为判断数列是否为等差数列的依据.2前一项公差2.对等差数列定义的理解(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.(2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件.(3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.4.等差数列的通项公式以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式为an=.5.等差数列通项公式的推导通项公式的推导,教材是根据等差数列的定义,通过归纳的方式得出的,还可以采用以下的推导方法:法一(累加法)因为{an}是等差数列,所以an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,…a2-a1=d,两边分别相加得an-a1=(n-1)d,所以an=a1+(n-1)d.a1+(n-1)d法二(迭代法){an}是等差数列,则有an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.法三(逐差法){an}是等差数列,则an=an-an-1+an-1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+an-2=…=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.自我检测1.下列说法中正确的是()(A)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数,这个数列就叫等差数列(B)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列(C)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和都等于常数,这个数列就叫等差数列(D)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列D解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起;②差为同一个常数,故选D.A3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,问第二尺与第四尺的重量之和为()(A)6斤 (B)9斤 (C)9.5斤 (D)12斤A解析:由题意,金箠的每一尺的重量依次成等差数列,从细的一端开始,第一段重2斤,第五段重4斤,由等差中项知,第三段重3斤,第二段加第四段重3×2=6斤.故选A.4.等差数列{an}中,a2=2,a4=8,则通项公式an=.?5.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=.?答案:1题型一等差数列的通项公式课堂探究【例1】已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.方法技巧求等差数列的通项公式的两种思路(1)设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d,即可写出数列的通项公式.(2)已知等差数列中的两项时,利用an=am+(n-m)d求出公差d就可绕过求首项a1,直接写出等差数列的通项公式.注意:对于等差数列的通项公式,最终结果一般写成关于n的一次函数的形式.即时训练1-1:在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28.求数列{an}的通项公式.题型二等差数列的判定与证明(2)求数列{an}的通项公式.方法技巧判断或证明一个数列{an}为等差数列的常用方法:(1)定义法:若an-an-1=d(