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专题18.3菱形的性质与判定-重难点题型
【人教版】
【知识点1菱形的定义】
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【知识点2菱形的性质】
①菱形具有平行四边形的一切性质;②菱形的四条边都相等;③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条
对角线平分一组对角;④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.
【题型1菱形的性质(求角度)】
【例1】(2020秋•萍乡期末)如图,四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,
连接OH,∠CAD=25°,则∠DHO的度数是()
A.20°B.25°C.30°D.35°
【分析】先根据菱形的性质得OD=OB,AB∥CD,BD⊥AC,则利用DH⊥AB得到DH⊥CD,∠DHB
=90°,所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线,得到OH=OD=OB,利用等腰三角形的性质得∠1
=∠DHO,然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数.
【解答】解:如图:
138.
第页共页
∵ABCD是菱形
∴AD=AB,BO=OD,
∴∠BAD=2∠CAD=50°
∴∠ABD=(180°﹣∠BAD)÷2=65°
∵DH⊥AB,BO=DO
∴HO=DO
∴∠DHO=∠BDH=90°﹣∠ABD=25°
故选:B.
【点评】本题考查菱形的性质,直角三角形斜边中线定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题,属于中考常考题型.
【变式1-1】(2021•南岗区模拟)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,点E在BC边上,将菱形纸片
ABCD沿DE折叠,点C落在AB边的垂直平分线上的点C′处,则∠DEC的大小为()
A.30°B.45°C.60°D.75°
【分析】连接BD,由菱形的性质及∠A=60°,得到三角形ABD为等边三角形,P为AB的中点,利用
三线合一得到DP为角平分线,得到∠ADP=30°,∠ADC=120°,∠C=60°,进而求出∠PDC=90°,
由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数.
【解答】解:连接BD,如图所示:
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD,
∵∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°,
238.
第页共页
∵P为AB的中点,
∴DP为∠ADB的平分线,即∠ADP=∠BDP=30°,
∴∠PDC=90°,
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,
在△DEC中,∠DEC=180°﹣(∠CDE+∠C)=75°.
故选:D.
【点评】此题考查了翻折变换(折叠问题),菱形的性质,等边三角形的性质,以及内角和定理,熟练
掌握折叠的性质是解本题的关键.
【变式1-2】(2021春•海淀区校级期中)如图,在菱形ABCD中,点M、N分别交于AB、CD上,AM=
CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠OBC=62°,则∠DAC为°.
【分析】由全等三角形的性质可证△AOM≌△CON,可得AO=CO,由等腰三角形的性质可得BO⊥AC,
即可求解.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AB=BC,BC∥AD,
∴∠MAO=∠NCO,∠BCA=∠CAD,
在△AOM和△CON中,
∠=∠
∠=∠,
=
∴△AOM≌△CON(AAS),
∴AO=CO,
又∵AB=BC,
∴BO⊥AC,
338.
第页共页
∴∠BC
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