专题18.3 菱形的性质与判定-重难点题型（教师版含解析）.pdf

专题18.3菱形的性质与判定-重难点题型

【人教版】

【知识点1菱形的定义】

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【知识点2菱形的性质】

①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条

对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

【题型1菱形的性质（求角度）】

【例1】（2020秋•萍乡期末）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，

连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）

A．20°B．25°C．30°D．35°

【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB

＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1

＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数．

【解答】解：如图：

138.

第页共页

∵ABCD是菱形

∴AD＝AB，BO＝OD，

∴∠BAD＝2∠CAD＝50°

∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）÷2＝65°

∵DH⊥AB，BO＝DO

∴HO＝DO

∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°

故选：B．

【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型．

【变式1-1】（2021•南岗区模拟）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片

ABCD沿DE折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C′处，则∠DEC的大小为（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用

三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，

由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．

【解答】解：连接BD，如图所示：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB＝AD，

∵∠A＝60°，

∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，

238.

第页共页

∵P为AB的中点，

∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，

∴∠PDC＝90°，

∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，

在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．

故选：D．

【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练

掌握折叠的性质是解本题的关键．

【变式1-2】（2021春•海淀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM＝

CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC＝62°，则∠DAC为°．

【分析】由全等三角形的性质可证△AOM≌△CON，可得AO＝CO，由等腰三角形的性质可得BO⊥AC，

即可求解．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AB＝BC，BC∥AD，

∴∠MAO＝∠NCO，∠BCA＝∠CAD，

在△AOM和△CON中，

∠=∠

∠=∠，

=

∴△AOM≌△CON（AAS），

∴AO＝CO，

又∵AB＝BC，

∴BO⊥AC，

338.

第页共页

∴∠BC