（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测08空间中的平行与垂直（教师版）.docVIP

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第08课空间中的平行与垂直

考点01 判断平行，垂直的有关命题

【例1】已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列结论正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【详解】对于A，，则可能平行、可能相交且不垂直，故A不正确；

对于B，，则可能平行、可能相交且不垂直、可能异面且不垂直，故B不正确；

对于C，若，根据线面垂直的性质定理可知，故C正确；

对于D，若，则或异面，故D不正确．故选：C．

【变式1】已知平面，直线，若且，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】如下图且，，则l//a，此时，，所以，充分性不成立；

??

若，因为，所以，必要性成立，

??

故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.

【变式2】已知是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则有下列命题

①，，；????②，，；

③，，；????④，.

其中正确命题的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】①若，，，则直线没有交点，异面或，故①不正确；

②若，，，当均与，的交线平行时，可得，故②不正确；

③若，，则，又，则，故③正确；

④若，，则或，故④不正确.其中正确命题的个数为.故选：B.

考点02 平行的判定定理

【例2】下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（????）

A．??B．??C．??D．??

【答案】C

【详解】对于A：连接，由图可知，与平面相交，故不满足平面，故A错误；

??

对于B：如图所示，分别是所在棱的中点，连接，则平面MNP和平面为同一平面，因为，因为与平面相交，所以不满足平面，故B错误；

??????

对于C：连接，交与点，连接，因为，分别为中点，所以，由线面平行的判定定理可知，平面，故C正确；

????

对于D：分别是所在棱的中点，连接，，平面与平面为同一平面，取的中点为，连接，由中位线定理可知，，因为与平面相交，所以不满足平面，故D错误；

??

故选：C

【变式3】如图，在直三棱柱中，D，F分别是的中点．

??

(1)若E为CD的中点，O为侧面的中心，证明：平面；

(2)若，侧面为菱形，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析；(2)

【分析】（1）连接，，证得，进而证得，结合线面平行的判定定理，即可得证；

（2）根据题意，结合，利用锥体的体积公式，即可求解.

【详解】（1）证明：连接，．因为O为侧面的中心，且侧面为矩形，

所以O是的中点．因为为的中点，所以，

因为分别是，的中点，且且

所以，所以四边形是平行四边形，所以，

又因为，所以，平面，平面，所以平面.

（2）解：因为，且是的中点，且侧面为菱形，所以，

因为，所以，所以的面积，

在直三棱柱中，底面，所以.

??

考点03 补全平行的条件

【例3】如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，.

??

(1)求点到平面的距离.

(2)若是的中点，是上靠近点的三等分点，棱上是否存在一点使平面？证明你的结论并求的长.

【答案】(1)；(2)存在满足条件的点，且点为线段上靠近点的三等分点.证明见解析，.

【分析】（1）法一：根据垂直关系分别求出以及，利用等体积转化法可求出点到平面的距离；法二：由条件可证明平面，从而点到平面的距离即为所求，在等腰直角中可求出结果；

（2）取点为线段上靠近点的三等分点，可证明平面平面，从而平面，结合三等分点即可求出结果.

【详解】（1）方法一：如图，连接，因为平面，

所以.

因为平面，平面，所以，

又平面PCD，所以平面，平面，

所以.设点到平面的距离为，则.

又因为，所以可得，得，即点到平面的距离为.

方法二：因为平面，所以平面，

所以点到平面的距离即点到平面的距离.作，垂足为.

同方法一可知平面，所以平面平面，且交线为，

又平面，所以平面，点到平面的距离即.

在等腰直角中，，所以，即点到平面的距离为.

??

（2）存在满足条件的点，且点为线段上靠近点的三等分点.

证明如下：连接交于点，连接.

因为点是的三等分点，所以为的中点，为的中点.

在矩形中，为的中点，所以，平面，所以平面，

因为点为的中点，所以，平面，

所以平面DEF，又因为平面，所以平面平面，

又因为平面，所以平面，因为，所以.

考点04 平行的性质定理

【例4】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，M为PA的中点，E是PC靠近C的一个三等分点．

??

(1)若N是PD上的点，平面ABCD，判断MN与BC的位置关系，并加以证明．

(2)在PB上是否存在一点Q，使平面BDE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由．