专题19.1 函数-重难点题型（教师版含解析）.pdf

专题19.1函数-重难点题型

【人教版】

【知识点1函数的概念】

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么

我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的

值是否对应唯一确定的y值．

【知识点2求函数的值】

(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)

函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变

量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．

【题型1常量与变量】

【例1】如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线

上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2

与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．

【解题思路】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x

的关系．再根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变

的量称为常量可得答案．

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【解答过程】解：由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM＝

x，

∵∠BAC＝45°，

11212

∴S=×AM×h=AM=，

阴影222

12

则y=x，0＜x≤10，

2

1

其中的常量为，变量为重叠部分的面积y与MA的长度x．

2

【变式1-1】．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的

棋子数y＝（用含n的代数式表示），其中变量是．

【解题思路】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前

一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．

【解答过程】解：第一个图需棋子4；

第二个图需棋子4+3＝7；

第三个图需棋子4+3+3＝10；

…

第n个图需棋子4+3（n﹣1）＝（3n+1）枚．

其中变量是n，y．

故答案为：3n+1；y，n．

【变式1-2】按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．

（1）题中有几个变量？

（2）你能写出两个变量之间的关系吗？

【解题思路】由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把

椅子．x张餐桌共有6+4（x﹣1）＝4x+2．

【解答过程】解：（1）观察图形：x＝1时，y＝6，x＝2时，y＝10；x＝3时，y＝14；…

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可见每增加一张桌子，便增加4个座位，

因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）＝4x+2个座位．

故可坐人数y＝4x+2，

故答案为：有2个变量；

（2）能，由（1）分析可得：函数关系式可以为y＝4x+2．

【变式1-3】在烧开水时，水温达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：

（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？

（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？

（4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？

（5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？

（6）为了节约能源，你认为应在什么时间