（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测13抛物线方程及其性质（教师版）.docVIP

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第13课抛物线方程及其性质

考点01抛物线的定义与方程

【例1】若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（????）

A．椭圆B．抛物线C．直线D．双曲线

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用抛物线定义确定轨迹作答.

【详解】动点到点的距离和它到直线的距离相等，而点不在直线，

所以动点的轨迹是以点到直线的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.故选：B

【变式1-1】（多选）若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（????）

A．B．C．D．

【答案】BD

【分析】先求得焦点坐标，然后根据抛物线的定义求得点的坐标.

【详解】设抛物线的焦点为，则，依题意可知，所以，则.

所以点坐标为：、.故选：BD

????

【变式1-2】若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（????）

A．B．1C．D．

【答案】D

【分析】设，由抛物线定义列式求得，即可依次求，即点到原点的距离.

【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为，设，根据抛物线定义有有，∴，∴点到原点的距离为.故选：D.

考点02抛物线方程与位置特征

【例2】（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（????）

A．开口向左B．焦点坐标为C．准线为D．对称轴为轴

【答案】AD

【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，，开口向左，故A正确；对选项B，，焦点为，故B错误；

对选项C，，准线方程为，故C错误；对选项D，，对称轴为轴，故D正确.

故选：AD

【变式2-1】（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（????）

A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为

C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为

【答案】AC

【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论

【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．故选：AC

【变式2-2】抛物线的准线方程是，则实数.

【答案】

【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.

【详解】抛物线化为标准方程：，其准线方程是，而

所以，即，故答案为：

考点03距离的最值问题

【例3】抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（????）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】求得抛物线的方程，设出点的坐标，根据两点间的距离公式以及二次函数的性质求得正确答案.

【详解】抛物线的焦点为，所以抛物线的方程为，且，所以抛物线的方程为，设，则，所以当时，取得最小值为.故选：B

【变式3-1】若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（????）

A．B．C．D．4

【答案】A

【分析】先求得点的坐标，求得关于直线的对称点，根据三点共线求得的最小值.

【详解】抛物线的焦点，准线，，则，不妨设，

关于直线的对称点为，由于，所以当三点共线时最小，

所以的最小值为.故选：A

????

【变式3-2】已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（????）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可.

【详解】设点A在准线上的射影为D，如图，

??

则根据抛物线的定义可知，求的最小值，即求的最小值，显然当D，B，A三点共线时最小，此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知.故选：B.

考点04抛物线中的三角形和四边形问题

【例4】已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则的面积为（????）

A．3B．C．D．

【答案】C

【分析】设，则，过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，求得的倾斜角为，得到直线方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得，结合面积公式，即可求解.

【详解】设，则，如图所示，不妨设的倾斜角为锐角，过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则，，过作于，则，所以，所以的倾斜角为，由抛物线的焦点坐标为，所以直线方程为，即，联立方程组，整理得，设，可得，可得，所以.

故选：C.

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