【八年级上册数学沪教版】专题06 一元二次方程的判别式及应用（知识精讲+综合训练）（解析版）.docx

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章节复习知识精讲与综合训练

专题06根的判别式及其应用

知识精讲

知识精讲

知识点01判别式的值与根的关系

一元二次方程根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

（1）当△0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△0时，一元二次方程没有实数根.

2.一元二次方程根的判别式的逆用

在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；

（2）方程有两个相等的实数根=0；

（3）方程没有实数根﹤0.

【典例分析】

如果a、c异号，那么一元二次方程 的根的情况是（ ）．

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

【答案】A

【解析】a、c异号，则有恒成立，可知方程有两不等实根，故选A．

【总结】考查一元二次方程根的判别式的应用．

不解方程，判定下列方程的根的情况：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）两个不相等的实数根；（2）无实数根；（3）略．

【解析】（1）因为，，，则有，所以方程有两个不相 等的实数根；

整理即为，则，，，则有，所以原方程无实数根；

（3），可知当时，方程有两个相等的实数根；

当时，方程无实数根．

【总结】考查根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况．

已知是方程的两个实数根，且，求q的最大值

【答案】

【解析】因为是方程的两个实数根，根据韦达定理可得：，

，由，即得，则有，

同时韦达定理成立的前提是方程有实数根，即得，得，

即的最大值为．

【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根．

知识点02根的判别式的应用

（1）不解方程判定方程根的情况；

（2）根据参数系数的性质确定根的范围；

（3）解与根有关的证明题．

【典例分析】

填空：

一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值为__________；

若一元二次方程有两个相等的实数根，则m=__________．

【答案】（1）（应排除的情形）；（2）．

【解析】（1）方程有两个相等实根，则有，即得：，则；

（2）因为方程有两个相等实根，则有，方程为

一元二次方程，可得：，则有，．

【总结】方程有两个相等实根，即，注意题目隐含条件．

已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求m的取值范围．

【答案】且．

【解析】方程有两个实数根，则有，方程必为一元二次方程，且

，即得：且．

【总结】考查一元二次方程根的判别式确定方程根的情况，注意有两个相等实根的情况和二次项系数不为0的隐含条件．

说明不论m取何值，关于x的方程总有两个不相等的实数根．

【答案】略．

【解析】方程整理为一般形式即，恒成

立，即证方程总有两个不相等的实数根．

【总结】方程总有不等实根，恒成立即可，注意先整理成一般形式再说明．

综合训练

综合训练

一、单选题

1．下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（????）

A． B． C． D．

2．在实数范围内不能分解因式的是（????????）

A． B．

C． D．

3．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：

①如果x＝2是的倒方程的解，则；

②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；

③如果一元二次方程无实数根，则它的倒方程也无实数根；

④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．

其中正确的有（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．已知一元二次方程x2+x-1=0，下列判断正确的是（）

A．该方程有两个相等的实数根

B．该方程有两个不相等的实数根

C．该方程无实数根

D．该方程根的情况不确定

5．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（????）

A． B．

C．且 D．且

6．已知方程（1）与方程（2），其中ac≠0，a≠c．下列说法：①当方程（1）有两个不相等的实数根时，方程（2）也有两个不相等的实数根；②当两个方程均存在实数根时，它们的根一定相同；③当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1；④当方程（1）有一个根是2时，方程（2）也有一个根是．其中正确的是（????）．

A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④

7．定义：如果一元二次方程满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）

A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b