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《直线与平面垂直》知识拓展

知识要点

1.直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的概念

一般地,如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面互相垂直,记作.直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做垂足.

(2)线面角

如图,一条直线与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.

(3)线面垂直的判定与性质

判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.

性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.

2.空间中的距离

(1)点到平面的距离

过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

(2)直线到平面的距离

一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.

(3)平行平面间的距离

如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离

问题1如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?

提示不一定.如图,直线与以及平面内和平行的无数条直线都垂直,但直线平面.直线与平面垂直的判定定理中一定要注意“相交”两字.

问题2如果一条直线与平面内的一条直线不垂直,那么这条直线一定不垂直这个平面吗？

提示正确.由线面垂直的定义知,直线与平面垂直,直线应垂直于平面内的任意一条直线.